. . . .
（1/h）。
将（3）代入方程（2），得到一阶线性微分方程，求解得 y(t)?1100???t??t(e?e) （4） ???表明血液系统中的药量y(t)随时间先增后减并趋于0。
为了根据药物排除的半衰期为6h来确定?，考虑血液系统只对药物进行排除的情况，这时y(t)满足方程
dy???y，若设在某时刻?有y(?)?a，则dty(t)?ae??(t??),t??。利用y(??6)?a/2，可得?=（In2）/6=0.1155（1/h）。
将?=0.1386和?=0.1155代入（3），（4），得（t的单位：h；x，y的单位：mg）
x(t)?1100e?0.1386t （5） y(t)?6600(e?0.1155t?e?0.1386t) （6）
5.3 结果分析
用MATLAB软件对（5），（6）作图，得图1.
12001000800x,y/mgx(t)600400y(t)20000510t/h152025
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图1 胃肠道中药量x(t)和血液系统中药量y(t)
根据假设4，孩子的血液总量为2000ml，出现严重中毒的血药浓度
100?g/ml和致命的血药浓度200?g/ml分别相当于血液中药量y达到200mg
和400mg。由图1看出，药量y在约2h达到200mg，即孩子到达医院时已经出现严重中毒；如不及时施救，药量y将在约5h（到医院后3h）达到400mg。
由（6）容易精确地算出孩子到达医院时血液中药量y(2)=236.5mg，而计算药量达到400mg的时间（记作t1），则需要解非线性方程
6600(e?0.1155t1?e?0.1386t1)?400，用MATLAB软件计算可以得到t1=4.87h。
由图1还可以看出，血液中药量y(t)达到最大值的时间约在t=8h，即到达医院后6h，其精确值可由方程（2）或解（4）计算，记作t2，
t2?In(1??/6?)=7.89h，
???且y(t2)?442.1mg。
六.解决方案
根据模型计算的结果，如不及时施救，孩子会有生命危险。根据调查，如采用口服活性炭来吸附药物的办法施救，药物的排除率可增加到?的2倍，即0.2310。让我们计算一下，采用这种施救方案血液中药量y(t)的变化情况。 设孩子到达医院时刻（t=2）就开始施救，前面已经算出y(2)=236.5,由（2），（3），新的模型为（血液中药量记作z(t)）
dz??x??x,t?2,x?1100e??t,z(2)?236.5 （7） dt仍是一阶线性微分方程，只不过初始时刻为t=2，当?=0.1386（不变）而（7）的解为 ?=0.2310时，
. . . .
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z(t)?1650e?0.1386t?1609.5e?0.2310t,t?2 （8） 用MATLAB软件对（8）作图，如图2.
12001000800x,y,z/mgx(t)600400z(t)200y(t)00510t/h152025
图2 施救后血液系统中药量z(t)（活性炭吸附法）
由图2可看出，施救后血液中药量z(t)达到最大值的时间约在t=5h，即到
t3=5.26h，达医院施救后3h，其精确值可由（8）算出，记作t3，且z(t3)=318.4mg，
远低于y(t)的最大值和致命水平。
图2还表明，虽然采用了口服活性炭来吸附药物的办法施救，血液中药量z(t)仍有一段时间在上升，说明用这种方法药物的排除率增加还不够大。不妨计算一下，如果要使z(t)在施救后（t?2）立即下降，排除率?至少应该多大。 z(t)在t=2取得极大值，相当于t=2时（7）式满足
dz?(?x??z)t?2?0 （9） dtt?2由（5）算出x(2)?833.7，再利用前面已有的z(2)?236.5和??0.1386，立即得
. . . .
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到??0.4885，约为原来（人体自身??0.1155）的4.2倍。
如果采用体外血液透析的办法，药物排除率可增加到
??0.1155?6?0.693，
血液中药量下降更快，根据此时?的值重新求解（7）：
z(t)?275e?0.1386t?112.3e?0.6930t,t?2 （10） 并用MATLAB软件作图：
12001000800x,y,z/mgx(t)600400y(t)200z(t)00510t/h152025
图3 施救后血液系统中药量z(t)(体外透析法)
由图3可看出，z(t)在进行透析后，药量下降速度很快，说明用这种方法药物的排除率增加大；但是体外透析存在一定的危险性，所以临床上究竟是否需要采用这种方法，应由医生综合考虑并征求病人和家属意见后确定。
七．模型的评价
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本模型建立在不受任何外界影响下胃肠道中和血液系统中的药量浓度，如
果还有其他因素影响，此模型就不是那么的准确了。
八．模型的推广
利用这个模型可以确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致
命的最小剂量，以此给医生治疗提供依据，提高治疗效率。
九．参考文献
[1]启源，金星，叶俊.数学模型.4版.：高等教育，2011：9-13
[2]启源，金星，叶俊.数学模型习题参考解答.4版.：高等教育，2011：1-2 [3]Selco J I,Beery J L.Saving a Drug Poisoninng Victim,UMAP ILAP Modules,2000.
[4]wenku.baidu./view/da59078471fe910ef12df83d.html
十．附录
图1代码：
t=[0:0.01:25]; x=1100.*exp(-0.1386.*t);
y=6600.*(exp(-0.1155.*t)-exp(-0.1386.*t)); plot(t,x,'-b',t,y,'-b') grid on; text(4,650,'x(t)'); text(3,300,'y(t)'); xlabel('t/h');
. . . .
. . . .
ylabel('x,y/mg')
图2代码：
t=[0:0.01:25]; x=1100.*exp(-0.1386.*t);
y=6600.*(exp(-0.1155.*t)-exp(-0.1386.*t)); z=1650.*exp(-0.1386.*t)-1609.5.*exp(-0.2310.*t); plot(t,x,'-b',t,y,'-b',t,z,'-b'); grid on; text(4,650,'x(t)'); text(10,410,'y(t)'); text(7,250,'z(t)'); xlabel('t/h'); ylabel('x,y,z/mg')
图3代码：
t=[0:0.01:25]; x=1100.*exp(-0.1386.*t);
y=6600.*(exp(-0.1155.*t)-exp(-0.1386.*t)); z=275.*exp(-0.1386.*t)+112.3.*exp(-0.6930.*t); plot(t,x,'-b',t,y,'-b',t,z,'-b'); grid on; text(4,650,'x(t)'); text(10,410,'y(t)'); text(7,150,'z(t)'); xlabel('t/h'); ylabel('x,y,z/mg')
. . . .
如何施救药物中毒 - 图文
