第八章 多元函数微积分
试题三
一、填空题(2?10=20分)
?2x+y+z=16
1. 母线平行于Y轴，且通过曲线?222 的柱面方程是 。
?x-y+z=0
2
2
2
[解析]：方程不含y时，表示母线平行于Y轴的柱面。消去y2得到3x2+2z2=16，为所求的柱面方程 ?
2. 设(x,y)?(0,0)时，f(x,y)=(x2-y2)-sin
2xy
x2+y2, 则 f(x+y,x-y)= 。 [解析]：f(x+y,x-y)= ((x+y)2
-(x-y)2
)-sin2(x+y)(x-y) (x+y)2+(x-y)2 = 4xy-sin2(x2(x2-y2+y2)
) ?
??xy22 当x2+y23. 设f(x,y)= ??x+y?0
， 则 fx?(0,0)= 。
? 0 当x2+y2=0
[解析]： f?limxf(?x+xx(x0,y0)= 0,y0)-f(x0,y0)??0?x , fx?(0,0)= ?limxf(?x,0)-f(0,0)?0?x = ?limx0-0?0?x =0 4. 设z=f[x,g(x,y)], y=?(x)，f, g, ? 均为可微函数，则
dz
dx
= 。 [解析]：根据复合函数求导数规则，dz
dx= f ?1 +f ?2 (g?x+g?y???) ?
5. 已知 xlny+ylnz+zlnx = 1，则
?z?x??x?y??y
?z
= 。 [解析]：根据隐函数求导数规则，?z?x?yF?x?x??y??z = (- F?z)?(- F?yF?x)?(- F?zF?y) = -1 ?
6. 设z=f (arctanyx)，f为可微函数，且f ?(x)=x2, 则 ?z
?x|(1,1) = 。
[解析]：据复合函数求导数规则，?zy1?x
= f ?(arctanx)?1+(y/x)2 ?-y
x2 f ?(arctan11)=f ?(??2
?z?21-14)= 16 , ?x|(1,1) = 16?1+1 ?1 = -
?2
32
? 7. 交换积分次序 ?12-y
20dy?yf(x,y)dx = 。 [解析]：D: ?? 0?y?1
? y ?x?2-y
2
D ?? 0?x?1
?? 0?y?x2 D2: ? 0?x?21: ? 0?y?2-x
2 1x2I = ?22-x2 0dx?0f(x,y)dy + ?1dx?0f(x,y)dy ? ?
1
8. 设z=z(x,y)=
12yf(2x-y)，且已知 z(x,1)=x2-2x+3，则?z(x,y)?x
|(x,2)= 。 [解析]： z(x,1)= 1
2f(2x-1)=x2-2x+3, f(2x-1)=2x2-4x+6, 令u=2x-1, x=(u+1)/2,
f(u)=2(u+1)2/4-2(u+1)+6=(u+1)2/2-2(u+1)+6, f ?(u)=u+1-2=u-1, f ?(2x-2)=2x-3 所以
?z(x,y)?x= 12yf ?(2x-y)?2， ?z(x,y)?x
|1
(x,2)= 2f ?(2x-2)=x – 3/2 ? 9. 设 u=(xz
y
)，则du |(1,1,1) = 。
[解析]：?ux?x=(y)z-11y , ?u?x |?ux(1,1,1) =1 ; z-1-x?u
?y=(y) (y2) , ?y
|(1,1,1) = -1,
du |(1,1,1) =dx – dy ? 10. 设 ? (x-az,y-bz) =0，则 a
?z?x + b ?z
?y
= 。 [解析]：?z??x??1?z??y??2?z?z
?x= - ??z = - -a??1-b??2 , ?y= - ??z = - -a??1-b??2 所以a ?x + b ?y =1 ?
二、选择题(2?10=20分)
1设函数f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在，则f(x,y)在点(x0,y0)处 ( )
A、有极限 B、连续 C、可微 D、以上都不成立
[解析]：偏导数存在是一个较弱的条件，不能推出有极限、连续、及可微，故选D ?
2. 设 ?(x)= ?x2y0e-t2dt，则 ??
?x
= ( )
A、e
-x4y2
B、e
-x4y2
2xy C、e
-x4y2
(-2t) D、e
-x4y2
(-2x2y)
[解析]：利用积分上限函数求导规则，得到B正确 ?
3. 已知f(x,y)在(a,b)处偏导数存在，则 hlim?0 f(a+h,b) - f(a-h,b)h = ( ) A、0 B、fx?(2a,b) C、fx?(a,b) D、2fx?(a,b) [解析]： hlim?0 f(a+h,b) - f(a-h,b)h =hlim?0 f(a+h,b) - f(a,b)h +hlim?0 f(a,b) - f(a-h,b)h =2fx?(a,b) 选D ?
4. 设f (x, yxy?x )= xsinx2+y2 ，则 f(x,y)
?x
= ( )
A、sinx2xy+y2+x cosx2xy+y2 ?y(y2(x2-x2+y2))2 B、xsinyyy
1+y2 C、sin1+y2 D、xcos1+y2 [解析]：替换自变量名称 f (u,v)= xsiny/xvy
1+(y/x)2 = usin1+v2 f(x,y)= xsin1+y2 , 则 ?f(x,y)?x
= siny
1+y2 故选C ?
2
?/2sin?
5. 累次积分?0d??0f(rcos?,rsin?)rdr 可写成 ( )
221x-x1111-yA、?0dx?0f(x,y)dy B、?0dx?0f(x,y)dy C、?0dy?yf(x,y)dx
D、?1?y-y
20dy0f(x,y)dx
[解析]： 画出积分区域为D: x2+y2-y=0 与Y轴右半部分，?1y-y
20dy?0f(x,y)dx
故选D ?
6. 函数 z=x2+y2 在点(0,0) 处 ( )
A、不连续 B、连续且偏导数存在 C、取极小值 D、无极值 [解析]：函数 z=x2+y2 在点(0,0) 处连续，显然z在(0,0)处取极小值。故选C ? x?27. 设 z=ln(xy+y)，则 z
?x?y
= ( )
A、0 B、1 C、1x D、y
y2+1
[解析]：利用复合函数求导 ?z?x = 1xy+x/y(y+1y) = 1x , ?2z
?x?y = 0 故选A ?
8. 设 x+z =yf (x2-z2)，则 z?z?x + y?z
?y
= ( )
A、x B、y C、z D、yf (x2-z2) [解析]：利用隐函数求导
?z?x= - F?xF?z = 2xyf ?-1?zF?yyf2yzf ?+1, ?y= - F?z = 2yzf ?+1
, z?z?x + y?z?y = z2xyf ?-z+yf2yzf ?+1 = z2xyf ?+x
2yzf ?+1
= x 故选A ? 9. 设D是 |x|+|y|?1所围成区域, D1是由直线x+y=1和X轴,Y轴所围成的区域，则 ??D
(1+x+y)dxdy = ( )
A、4??D(1+x+y)dxdy B、0 C、2??D(1+x+y)dxdyz D、2
1
1
[解析]：利用积分区域的对称性及 被积函数的奇偶性 ??D
(x+y)dxdy=0
于是 ??D
(1+x+y)dxdy=
??Ddxdy+??D
(x+y)dxdy =2+0=2 故选D ?
3
10. 若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取极大值，则 ( )
A、fx?(x0,y0)=0, fy?(x0,y0)=0 B、若(x0,y0)是D内唯一极值点，则必为最大值点 C、[fxy?(x0,y0)]2- fxx?(x0,y0)?fyy?(x0,y0)<0,且fxx?(x0,y0)<0 D、以上结论都不正确 [解析]： A不真，(x0,y0)只是一个驻点； B不真，要求在D内连续；
C不真，要求(x0,y0)是驻点； 故选D ?
三、计算题(6?6=36分) 1. 设z=(1-2xy+y2)-1/2，证明：
?z[(1-x2?z?z?z
?x)?x]+ ?y[y2?y
] = 0. [证明]：计算 ?z?z?2z?x=yz3, ?y=(x-y)z3, 25
?2z?x2=3yz, ?y2= -z3+3(x-y)2z5,
?z[(1-x2)?z?x]= -2xyz3+3(1-x2)y2z5 , ?z?y[y2?z
?y]=2y(x-y)z3- y2z3+3y2(x-y)2?xz5 , ?z[(1-x2)?z?x]+ ?z?y[y2?z
?y] = 3y2?xz5[1-x2-(1-2xy+y2)+(x-y)2] = 3y2z5?0 = 0 ? 设?=f(u,v), u=tx, v=ty，求 ?22 .?
?t
2 。
[解析]：??
?t= f?x+ f?2?uv?y , ?t
2=[xf?uu+yf?uv]x+[xf?vu+yf?vv]y = x2f?uu+2xyf?uv+y2f?vv ?
?f?F?f?F
3. 设y=f(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)=0确定的x, y函数，试证：dy?x? - ?
dx
= ?t?t?x
?f?F?F
?t??y+?t
[解析]：dy?f?f?tdx=?x+?tdydy?f?t?f?f?tdy
?t[?x+?y?dx], 变形 dx(1-?t??y)=?x+?t??x , 解出 dx ，
再由隐函数求导计算?t??x与t
?y ，代入即得到所证明的等式。 ?
4. 设x2+y2+z2=a2 (x>0, y>0, z>0)，求 xy+yz+zx的极值。 [解析]：用拉格朗日乘数法，目标函数 f(x,y,z)= xy+yz+zx
约束条件: x2+y2+z2=a2
令拉格朗日函数 F(x,y,z,?)= xy+yz+zx+?( x2+y2+z2-a2)
则 F?x=y+z+2?x=0, F?y=x+z+2?y=0, F?z=y+x+2?z=0, x2+y2+z2=a2 前三式相加得到 2(x+y+z)+2?(x+y+z)=0, 所以?= -1, 代入得 x=y=z,
则 x=y=z=a/3 ，根据实际意义它是极大值点，也是最大值点，最大值为 f=a2 ?
5. 求 ?11xy
0dx?x21+y3 dy
1yxy1x2yy11y2
[解析]：改变积分次序得到 I = ?0dy?01+y3dx = ?0 [21+y3]0
dy = 2?0 21+y3dy =
111323116?0 1+y3dy = 61+y |0 = 3
(2 –1) ? 4
a-a+a2-x21
6. 计算 ?0?-x dxdy
x2+y24a2-(x2+y2)
[解析]：化为极坐标计算，积分区域如图 原积分 I = ?-?/4d??
0
-2asin?1
0r4a2-r2) rdr
0r-2asin?
= ?-?/4 arcsin |0d?
2a
?
四、(8分) 某企业现有以种商品1万件，打算同时在两个地区销售，这两个地区需求函数分别为Q1=10000 – 500p1和Q2=5500 – 250p2，销售成本分别为C1=1000+5Q1和C2=500+5.5Q2，应如何确定售价才能使企业获得最大利润。
[解析]：总利润 L=Q1P1–C1+Q2P2 –C2=Q1(P1-5)+Q2(P2-5.5) – 1500
约束条件： Q1+Q2=10000 即 2p1+p2=22 令 F(p1,p2,?)= Q1(P1-5)+Q2(P2-5.5) – 1500+?(2p1+p222)
F?p1= -500(p1-5)+Q1+2?=0 (利用复合函数求导) F?p1= -250(p2-5.5)+Q2+?=0 2p1+p2=22
前二式消去?，得到 p2-p1=1.25 , 解得 p1=2075/300=6.92, p2=8.16, 为最大值点， 最大值 L(6.92, 8.16)= 20087.6 能使企业获得最大利润为 20087.6 单位。 ? 五、证明题(2?8=16分)
1. 设z=z(x,y)是由ax+by+cz=?(x2+y2+z2)定义的函数，其中?(u)是一个可微函数，a,b,c为常数，证明z=z(x,y)是方程 (cy-bz)
?z?z
+(az-cx) =bx-ay 的解。 ?x?y
0?20?2
= ?-?/4 -?d?= - |-?/4= 232
?za-??2x?zb-??2yc(bx-ay)-2z??(bx-ay)
[证明]：= - , = - , 代入左式= =bx-ay=右式 ?
?xc-??2z?yc-??2zc-??2z2. 设在区间 [a,b]上f(x)连续且恒大于0，试利用二重积分证明定积分之积:
b
bdx
?af(x)dx ??af(x) ? (b-a)2 。
bb1f(x)
[证明]：将I化为二重积分 I=?af(x)dx ??ady= dxdy，D为矩形区域，
f(y)Df(y)
??
根据x,y的对称性有 I=??
D
f(y)f(y)f(x)
dxdy ，于是2I = ??(+)dxdy = f(x)Df(x)f(y)
f2(x)+f2(y)2f(x)f(y)
= ??(dxdy ? ??(dxdy=2??dxdy?2(b-a)2 即 I ? (b-a)2 ?
f(x)f(y)DDf(x)f(y)D
5
第八章多元函数微积分
