第二章 半导体中的载流子及其输运性质
1、对于导带底不在布里渊区中心，且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题，证明每个旋转椭球内所包含的动能小于（E－EC）的状态数Z由式（2-20）给出。 证明：设导带底能量为EC，具有类似结构的半导体在导带底附近的电子等能面为旋转椭球面，即
2k32??2?k12?k2 E(k)?EC??????2?mtml? 与椭球标准方程
k12k12k22?2?2?1 2abc相比较，可知其电子等能面的三个半轴a、b、c分别为
2mt(E?Ec)1a?b?[]2 2?2ml(E?Ec)1c?[]2 2?于是，K空间能量为E的等能面所包围的体积即可表示为
134422V??abc?2?(8mlmt)(E?EC)2
33?因为k空间的量子态密度是V/(4?3)，所以动能小于（E－EC）的状态数（球体内的状态
数）就是
(8mlmt2)1/2Z?2V(E?EC)3/2 33??1
2、利用式（2-26）证明当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度由式（2-25）给出。 证明：当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度分别由各自的有效质量mp轻和mp重表示。价带顶附近的状态密度应为这两个能带的状态密度之和。即：
3/2V(2mp轻)gV(E)1?(EV?E)1/2 232??3/2V(2mp重)1/2gV(E)2?(E?E) V2?2?3价带顶附近的状态密度 gV(E)?gV(E)1?gV(E)2即：
3/23/2V(2mp轻)V(2mp重)1/21/2(E?E)gV(E)?(E?E)+ VV23232??2??V(EV?E)123232[(2m)?（2m）] ?p重P轻222??只不过要将其中的有效质量mp*理解为mp?(mp轻?mp重)*3/23/22/3则可得：
32(2m*?[(2mp轻)32?（2mp重)3/2]带入上面式子可得： p)*3/2V(2mp)gV(E)?(EV?E)1/2 232??3、完成本章从式（2-42）到（2-43）的推演，证明非简并半导体的空穴密度由式（2-43）决
定。
解：非简并半导体的价带中空穴浓度p0为
p0??EV'EV(1?fB(E))gV(E)dE
带入玻尔兹曼分布函数和状态密度函数可得
*321(2mp)p0?22??3?EVE'Vexp(E?EF)(EV?E)12dE K0T令x?(EV?E)(K0T),则
(EV?E)12?(K0T)12x12
d(EV?E)?k0Tdx
将积分下限的E'V（价带底）改为-∞，计算可得
p0?2(令
m*pk0T2??2)32exp(EV?EF) K0TNV?2(则得
m*pk0T2??2)32?232(2?m*pk0T)h3
P0?NVexp(?EF?EV) k0T
4、当E－EF=1.5kT、4kT、10kT时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据这些能级的几率，并分析计算结果说明了什么问题。 解：已知费米分布函数f(E)?11?eE?EFkT；玻耳兹曼分布函数fB?e?E?EFkT
1?0.1824，fB?e?1.5?0.223； 1.51?e1?4f?e?0.0183； ?0.01799当E－EF=4kT时：f(E)?，B41?e1当E－EF=10kT时：f(E)??4.54?10?5，fB?e?10?4.5?10?5； 101?e当E－EF=1.5kT时：f(E)?计算结果表明，两种统计方法在E－EF＜2kT时误差较大，反之误差较小；E－EF高于kT的倍数越大，两种统计方法的误差越小。
5、对非简并半导体证明其热平衡电子和空穴密度也可用本征载流子密度ni和本征费米能级Ei表示为
n0?niexp(EF?Ei； E?EF )p0?niexp(i)kTkT证明：因为导带中的电子密度为：n0?NCexp(?EC?EF) kT本证载流子浓度为ni?NCexp(?EC?Ei) kT结合以上两个公式可得：n0?NCexp(?EC?EFE?Ei?EC?Ei)?NCexp(F) kTkT?NCexp(?EC?EiE?EiE?Ei)exp(F)?niexp(F) kTkTkTEV?EF) kT 因为价带中的空穴密度为：p0?NVexp(本证载流子浓度为ni?NVexp(EV?Ei) kT同理可得：p0?niexp(Ei?EF) kT6、已知6H-SiC中氮和铝的电离能分别为0.1eV和0.2eV，求其300K下电离度能达到90%的掺杂浓度上限。
解：查表2-1可得，室温下6H-SiC的Nc=8.9×1019cm-3，Nv=2.5×1019cm-3。 当在6H-SiC中参入氮元素时： 未电离施主占施主杂质数的百分比为
D??(将此公式变形并带入数据计算可得：
2ND?E)exp(D) Nck0TD?Nc?ED0.1?8.9?10190.1ND?()exp(?)?()exp(?)?9.523?1016cm?3
2k0T20.026当在6H-SiC中参入铝元素时： 未电离受主占受主杂质数的百分比为
D??(将此公式变形并带入数据计算可得：
4NA?EA)exp() NVk0TD?NV?ED0.1?2.5?10190.2NA?()exp(?)?()exp(?)?2.85?1014cm?3
4k0T40.0267、计算施主浓度分别为1014cm-3、1016cm-3、1018cm-3的硅在室温下的费米能级（假定杂质全
部电离）。根据计算结果核对全电离假设是否对每一种情况都成立。核对时，取施主能级位于导带底下0.05eV处。 解：因为假定假定杂质全部电离，故可知n0?NCe带底的位置表示为
?EC?EFkT?ND，则可将费米能级相对于导
EF?EC?kTlnND NC将室温下Si的导带底有效态密度NC=2.8?1019 cm-3和相应的ND代入上式，即可得各种掺杂浓度下的费米能级位置，即
1410??0.326eV ND=1014 cm-3时：EF?EC?0.026?ln2.8?10191610??0.206eV ND=1016 cm-3时：EF?EC?0.026?ln192.8?101018??0.087eV ND=10 cm时：EF?EC?0.026?ln2.8?101918
-3
为验证杂质全部电离的假定是否都成立，须利用以上求得的费米能级位置求出各种掺杂浓度下的杂质电离度
n?DND?11?2eE?E?DFkT
为此先求出各种掺杂浓度下费米能级相对于杂质能级的位置
ED?EF?(EC?EF)?(EC?ED)?EC?EF??ED
于是知
ND=1014 cm-3时：ED?EF?0.326?0.05?0.276eV ND=1016 cm-3时：ED?EF?0.206?0.05?0.156eV ND=1018 cm-3时：ED?EF?0.087?0.05?0.037eV 相应的电离度即为
?nDND=1016 cm-3时：?ND11?2e11?2e1??0.1560.026?0.2760.026?0.99995
ND=1016 cm-3时：
n?DND??0.995
ND=1018 cm-3时：
n?DND?1?2e0.0370.026?0.67
验证结果表明，室温下ND=1014 cm-3时的电离度达到99.995%，ND=1016 cm-3时的电离度达到99.5%，这两种情况都可以近似认为杂质全电离；ND=1019 cm-3的电离度只有67%这种情况下的电离度都很小，不能视为全电离。
8、试计算掺磷的硅和锗在室温下成为弱简并半导体时的杂质浓度。 解：设发生弱简并时
EC?EF?2kT=0.052eV
半导体物理学简明教程陈志明编第二章 半导体中的载流子其输运性质 课后习题
