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高一同步课程
“抽象函数”
授课日期 授课时长
知识定位 本讲内容：抽象函数的定义，及几种常见类型的抽象函数；求抽象函数的定义域、值域、解析式、函数值的方法
掌握目标：1.了解抽象函数的定义；
2.掌握求抽象函数的定义域、值域、解析式、函数值的方法。
重点及难点：求抽象函数的定义域、值域、解析式、函数值
考试分析：抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。难度属与中等偏难。
知识梳理 ? 知识点一：抽象函数的定义
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。 抽象函数的几种类型：
线性函数型抽象函数：f（x）＝kx（k≠0）-----f（x±y）＝f（x）± f（y）；
xf(x)幂函数型抽象函数：f(x)?x ----f(xy)?f(x)f(y)，f()?；
yf(y)2f(x)指数函数型抽象函数：f（x）＝a------ f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝
f(y)x
对数函数型抽象函数：
xf（x）＝logax（a>0且a≠1）--------f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y）
y类三角函型抽象函数：f(x?y)?f(x?y)?2f(x)?f(y)
【试题来源】
【题目】如果f(x+y)=f(x)?f(y),且f(1)=2，则
f(2)f(4)f(6)f(2004)?????的值为_________。 f(1)f(3)f(5)f(2003)
【试题来源】
【题目】已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x?R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)+1-x，，则g(2005)=_____.
? 知识点二：抽象函数的定义域、值域
一.抽象函数定义域
1．已知f(x)的定义域，求
f?g(x)?的定义域
f?g(x)?中，a≤g(x)≤b，从中
其解法是：若f(x)的定义域为a≤x≤b，则在解得x的取值范围即为2、已知
f?g(x)?的定义域．
f?g(x)?的定义域，求f(x)的定义域
f?g(x)?的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g(x)的范
其解法是：若
围即为f(x)的定义域． 二.抽象函数值域
1、已知g?x?的值域，求
f?g(x)?的值域
f?g(x)?中，先把a≤g(x)≤b与f(x)其解法是：若g?x?的值域为a?g?x??b，则在的定义域取交集，再在这个范围内求
f?g(x)?的值域．
2、若已知是一个抽象函数的关系式，则利用赋值法求值域。 3、也可以求得反函数的定义域来得到原函数的值域
【试题来源】
【题目】已知函数f(x)的定义域为
，?，求f(3x?5)的定义域． ??15
【试题来源】
【题目】设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件：①存在x1≠x2，使得f(x1) ≠f(x2)；②对任何x和y，f(x+y)=f(x)?f(y)成立；求：
（1）f(0)； （2）对任意值x，判断f(x)值的正负。
【试题来源】
【题目】若函数y?f(x?1)的定义域为[?2,3)，求函数y?f(?2)的定义域。
【试题来源】
【题目】已知函数f(x?2x?2)的定义域为?0，3?，求函数f(x)的定义域．
21x
【试题来源】
【题目】若函数y?f(x?1)的值域为[?1,1]，求函数y?f(3x?2)的值域。
【试题来源】 【题目】已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域
? 知识点三：抽象函数的表达式及函数值
求抽象函数表达式与函数值的方法： 1. 换元法.
2. 待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
3. 赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
4.方程法：由抽象式求解析式问题——视f(x)为未知数，构造方程（组）。
【试题来源】
【题目】已知f(1+ x2)=2+ x2+x4, 求f(x)
【试题来源】
【题目】已知f(x)是二次多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).
【试题来源】
【题目】对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.
【试题来源】
x?1?【题目】设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足,f?x??f????1?x ,求f(x)
?x?的解析式。
【试题来源】
22【题目】已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)?x?x))?f(x)?x?x.
(1)若f(2)?3,求f(1);又f(0)?a,求f(a);
(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)?x0,求函数f(x)的解析表达式.
课后练习 【试题来源】
【题目】已知函数f(x)的定义域为[1,4]，则
【试题来源】
【题目】定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.
（1）求证：f（0）=1； （2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0； （3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.
【试题来源】
【题目】设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在x1?x2,使得f(x1)?f(x2)，求函数f(x)的值域。
【试题来源】
f(2x)???2
的定义域是：
【题目】求函数y=
【试题来源】
的值域
【题目】已知函数f(x),g(x)在R上有定义，对任意的x,y?R有
f(x?y)?f(x)g(y)?g(x)f(y) 且f(1)?0
（1）求证：f(x)为奇函数
（2）若f(1)?f(2)， 求g(1)?g(?1)的值
【试题来源】
【题目】函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x?R,有f(x)>0;②对任意
1x,y?R,有f(xy)?[f(x)]y;③f()?1.
3 (1)求f(0)的值;
(2)求证: f(x)在R上是单调减函数
【试题来源】
【题目】已知函数f(x)定义域（-1，1），满足对任意的x?（-1，1）有f(x)+f(y)＝f?1111且x?（-1，0）时f(x)>0.q求证：f()+f()+┈+f(2)>f().
1125n?3n?1?x?y??，1?xy??
【试题来源】
【题目】已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有
f(m?n)?f(m)?f(n)?111,且f()?0,当x?时, f(x)>0. 222(1)求f(1); (2)求和f(1)?f(2)?f(3)?...?f(n)(n?N*); (3)判断函数f(x)的单调性,并证明.
【试题来源】
【题目】函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件
f(2)?1,f(xy)?f(x)?f(y),f(x)是减函数。 （1）证明：f(1)?0；
（2）若f(x)?f(x?3)?2成立，求x的取值范围。
【试题来源】
【题目】已知函数f（x）对任意
，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x的解。
＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式
【试题来源】2006重庆
【题目】已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. （Ⅰ）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式。
69 抽象函数同步（学生版）
