江苏专用高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第
3讲平面向量学案文苏教版
第3讲 平面向量
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三年考情 考点扫描 2019 1．平面向量的概念及2018 2017 江苏高考对平面向量考查命题考向预测 线性运算 2．平面向量的数量积 第12题 热点是：平面向量的几何意义、数量第13题 积、两向量平行与垂直．试题常以填空题形式出现，数量积是命题热3．平面向量与其他知第12题 点．平面向量常与三角函数、解析几 识点的综合运用 第16题 何等知识相结合，以解答题形式呈现，难度中等．
1．必记的概念与定理
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0． (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为．
|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．
(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． 2．平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa． (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
3．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°．
4．记住几个常用的公式与结论
- 1 -
a
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)． (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)． →→→
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝OB－OA＝(x2－x1，y2－y1)． (4)设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)． (5)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (6)两向量a，b的夹角公式：cos θ＝
x1x2＋y1y2
(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． 222
x2＋y·x＋y1122
(7)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a≠0， 则a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0．
a⊥b(b≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．
5．需要关注的易错易混点
(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．
(4)“a·b>0”是“θ为锐角”的必要不充分条件， “a·b<0”是“θ为钝角”的必要不充分条件．
平面向量的概念及线性运算
[典型例题]
(1)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
→→→→→
(2)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，→→→→→
且tan α＝7，OB与OC的夹角为45°．若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________．
- 1 -
【解析】 (1)因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
???2m＋n＝9，?m＝2，所以?所以?所以m－n＝2－5＝－3．
?m－2n＝－8，?n＝5，??
(2)法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan →
，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝|OC?52521177→?17?又cos(α＋45°)＝1
|cos α＝2×＝，yC＝|OC|sin α＝2×＝，即C?，?．
?55?52552552
α＝7，α∈?0，?，得sin α＝
2
??
π?
7
，cos α＝
1
71371114→－×＝－，sin (α＋45°)＝×＋×＝，则xB＝|OB|cos(α＋45°)
525225225225
13＝m－n，5534→→→→?34?＝－，yB＝|OB|sin (α＋45°)＝，即B?－，?，由OC＝m OA＋n OB，可得解
55?55?74
＝n，55×
1
?????
5
m＝，??457得?所以m＋n＝＋＝3．
447
??n＝4，
71?π?法二：由tan α＝7，α∈?0，?，得sin α＝，cos α＝，则cos(α＋45°)
2??5252＝
152
×1
713→→211→→→→
－×＝－，OB·OC＝1×2×＝1，OA·OC＝1×2×＝，OA·OB＝
522522525
313→→→→→→2→→?3?1×1×?－?＝－，由OC＝m OA＋n OB，得OC·OA＝m OA＋n OB·OA，即＝m－n ①，同
555?5?5
m＝，??43→→→→→
理可得OC·OB＝m OA·OB＋n OB，即1＝－m＋n ②，联立①②，解得?所以m＋n＝
57
??n＝4，
2
57
＋＝3． 44
【答案】 (1)－3 (2)3
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
- 1 -
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． (3)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
[对点训练]
→
1．(2019·徐州模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC．若BD→→
＝xBA＋yBC(x，y∈R)，则x－y的值为________．
[解析] 如图，延长DC，AB交于点E，
→→→→
因为∠DCA＝2∠BAC，所以∠BAC＝∠CEA．又∠ABC＝90°，所以BA＝－BE．因为BD＝xBA→→→→
＋yBC，所以BD＝－xBE＋yBC．因为C，D，E三点共线，所以－x＋y＝1，即x－y＝－1．
[答案] －1
→→→→
2．(2019·江门模拟)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足PA＋BP＋CP＝0，AP＝
λPD，则实数λ的值为________．
→
→→→→→
[解析] 如图所示，由AP＝λPD且PA＋BP＋CP＝0，则P为以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，
→→
因此AP＝－2PD，则λ＝－2． [答案] －2
平面向量的数量积
- 1 -
[典型例题]
(2019·高考江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，
AB→→→→
AD与CE交于点O．若AB·AC＝6AO·EC，则的值是________．
AC
【解】 法一：以点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，不妨设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)，a>0，c>0，由BE＝2EA得E?
?2b－a，2c?，
3??3?
c→→?bc?则直线OA：y＝x，直线CE：(b－2a)y＝c(x－a)，联立可得O?，?，则AB·AC＝(－a－b，
b?22?c??4a－2b2cb＋c－2ab?b，－?－c)·(a－b，－c)＝b＋c－a，AO·EC＝?－，－?·?＝，由?2??33?3?2
2
2
2
→→
22
→
AB·AC＝6AO·EC得b2＋c2－a2＝2(b2＋c2－2ab)，化简得4ab＝b2＋c2＋a2，则
（b＋a）＋c22＝
（b－a）＋c2
2
→→→
AB＝AC6ab＝3． 2ab→→→λ→→
法二： 由A，O，D三点共线，可设AO＝λAD，则AO＝(AB＋AC)，由E，O，C三点共线
2→→→→→→→→→1→→
可设EO＝μEC，则AO－AE＝μ(AC－AE)，则AO＝(1－μ)AE＋μAC＝(1－μ)·AB＋μAC，由
31λ（1－μ）＝，??3211→1→→→→
平面向量基本定理可得?解得μ＝，λ＝，则AO＝(AB＋AC)，EC＝AC－
424λμ＝，??21→→?→1→?32→→→1→→→1→→→→→
AE＝AC－AB，则6AO·EC＝6×(AB＋AC)·?AC－AB?＝(AB·AC＋AC2－AB2)＝AB·AC，化
3?23343?
AB→2→2
简得3AC＝AB，则＝3．
AC
向量数量积是高考命题的热点，可以说是必考内容．向量数量积主要应用于三类问题：一是角度问题，二是求模问题，三是与三角形结合解决有关问题．
涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：
(1)直接利用数量积的定义， 在利用定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．
(2)建立坐标系，通过坐标运算求解．
[对点训练]
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