2
3.当<m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于第________象限.
3
解析:复数z在复平面上对应的点为Z(3m-2,m-1).
2
由于<m<1,得3m-2>0,m-1<0,
3
所以点Z位于第四象限. 答案:四
4.若z+|z|=2,则复数z=________. 解析:设z=a+bi(a,b∈R),
22
∴z+|z|=a+bi+a+b=2,
2
2
?a+a2+b2=2∴??b=0
答案:1
,∴a=1,b=0,∴z=1.
一、填空题
22
1.若复数z=(a-2a)+(a-a-2)i在复平面内对应的点在虚轴上,则实数a满足________.
2
解析:由题意知,a-2a=0,∴a=0或a=2. 答案:a=0或a=2
i
2.复数z=在复平面上对应的点位于第________象限.
1+iii1i11
解析:=(1-i)=+,以x轴为实轴,y轴为虚轴,则对应坐标为(,),在第
1+i22222
一象限.
答案:一
a+i
3.(2011年高考辽宁卷改编)a为正实数,i为虚数单位,||=2,则a=________.
i
a+i2
解析:||=|1-ai|=a+1=2,∴a=±3.而a是正实数,∴a=3.
i
答案:3 4.已知复数z=
3+i1-3i
2
,则|z|等于________.
3+i3+i123-2ii-31
解析:z==-=-×=,|z|=. 2
24421+3i-23i2+23i
1答案: 2
5.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A、B.若C为线段AB的中点,则
点C对应的复数是________.
解析:A(6,5),B(-2,3),C(2,4), ∴C对应的复数为2+4i. 答案:2+4i
2-i
6.(2011年高考山东卷改编)复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限
2+i
为________.
2
2-i2-i4-4i-134
解析:∵z====-i,
2+i2+i2-i555
34
∴复数z对应的点的坐标为(,-),在第四象限.
55
答案:第四象限
→
7.在复平面内,O为原点,向量OA对应的复数为-1-2i,若点A关于直线y=-x的对
→
称点为B,则向量OB对应的复数为________.
→
解析:由题意知A(-1,-2),则B(2,1),故向量OB对应的复数为2+i. 答案:2+i
8.复平面内长方形ABCD的四个顶点中,点A,B,C所对应的复数分别是2+3i,3+2i,-2-3i,则点D对应的复数是________.
→→→
解析:设点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),由题意知AB=DC,又AB对应的复数为1-i,→
DC对应的复数为(-2-x)+(-3-y)i,所以-2-x=1,-3-y=-1.
所以x=-3,y=-2.所以点D对应的复数为-3-2i. 答案:-3-2i
9.已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是________. 解析:
由z1+z2=2i得z1=2i-z2,代入|z1|=1得|2i-z2|=1,
∴|z2-2i|=1,即z2轨迹是以(0,2)为圆心、1为半径的圆(如图).又z1轨迹为以原点为圆心,1为半径的圆,则|z1-z2|为两圆上点的距离,最大值为4.
答案:4 二、解答题
22
10.实数m分别取什么数值时,复数z=(m+5m+6)+(m-2m-15)i,(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数;(4)对应点在x轴上方;(5)对应点在直线x+y+5=0上.
2
解:(1)由m-2m-15=0, 得m=5或m=-3,
即当m=5或m=-3时,z为实数.
2
(2)由m-2m-15≠0, 得m≠5且m≠-3,
即当m≠5且m≠-3时,z为虚数.
2??m-2m-15≠0,(3)由?2得m=-2,
?m+5m+6=0,?
即当m=-2时,z为纯虚数.
2
(4)由m-2m-15>0, 得m<-3或m>5,
即当m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方.
22
(5)由(m+5m+6)+(m-2m-15)+5=0,
-3-41-3+41得m=或m=,
44
-3-41-3+41
即当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.
44
3
11.已知复数z1=i(1-i), (1)求|z1|;
(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.
3
解:(1)z1=i(1-i)=i(-2i)(1-i)=2(1-i),
22
∴|z1|=2+-2=22. (2)法一:∵|z|=1, ∴设z=cosθ+isinθ,
|z-z1|=|cosθ+isinθ-2+2i|
22
=cosθ-2+sinθ+2
π
= 9+42sinθ-.
4
π2
当sin(θ-)=1时,|z-z1|取得最大值9+42,从而得到|z-z1|的最大值为22+
41.
法二:
|z|=1可看成半径为1,圆心为(0,0)的圆,而z1对应坐标系中的点(2,-2), ∴|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点距离最大,由图可知|z-z1|max=22+1.
12.设复数z满足|z|=5,且(3+4i)z在复平面上对应点在第二、四象限的角平分线上,|2z-m|=52(m∈R),求z和m的值.
22
解:设z=a+bi(a、b∈R).∵|z|=5,∴a+b=25. 而(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b)i,
又∵(3+4i)z在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上, ∴3a-4b+4a+3b=0,得b=7a.
272
∴a=±,b=±,
22
即z=±(272
+i). 22
∴2z=±(1+7i).
当2z=1+7i时,有|1+7i-m|=52,
22
即(1-m)+7=50,得m=0,或m=2.
当2z=-(1+7i)时,同理,可得m=0或m=-2.