(2020年7月整理)张角定理在高考中的应用.doc

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张角定理在高考中的应用

张角定理：

由点P发出的三射线PA、PB、PC，?APC??，?CPB??，?APB??????， 那么A、B、C三点在一直线上的充分必要条件是：

sin(???)sin?sin? ??PCPBPA

证明：如果三点共线，那么?ABC??1??11

111所以PA?PBsin(???)?PA?PCsin??PB?PCsin?。

2221两边除以PA?PB?PC，即得所要证的等式。

2反之，如果命题中等式成立，那么反推可得面积方程?ABC??1??11， 这说明：?ABC??PAB??1??11?0,即A、B、C三点共线。 2017年江苏高考数学第12题：

如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为?，且tan??7，OB与OC的夹角为45。若OC?mOA?nOB，则

??0????????m?n? 。

sin(??450)sin?sin450??解：连接AB交OC于D，则。

ODOBOA?tan??7，?sin???m?n?752,sin??152。?OA?OB?1,?OD?2 3OC?3 OD点评：本题大部分都是建立坐标系，应用解析法来做的。难度不大，但是运算量大，解的过程较易出错。而利用张角定理与等和线来做，思路流畅，且计算量小，较为适宜。

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