第二讲 匀变速直线运动的应用
基础知识归纳
1．匀变速直线运动的重要推论
（1）任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差是一个恒量，即x2－x1＝x3－x2＝…＝Δx＝ aT 2 或xn＋k－xn＝ kaT 2 .
（2）在一段时间t内，中间时刻的瞬时速度v等于这段时间的平均速度，即vt＝
2v?v0?vtx=. 2t2v0?vt2（3）中间位移处的速度：vx＝.
22（4）初速度为零的匀加速直线运动的特殊规律
①t末、2t末、3t末、…、nt末瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝ 1∶2∶3∶…∶n . ②t内、2t内、3t内、…、nt内位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝ 12∶22∶33∶…∶n2 . ③在连续相等的时间间隔内的位移之比为 xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝ 1∶3∶5∶…∶(2n－1) . ④经过连续相等位移所用时间之比为
∶(2?1)∶(3?2)∶(n?n?1) . tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝ 12．自由落体运动
（1）物体只在 重力 作用下从静止开始下落的运动，叫做自由落体运动 （2）自由落体加速度的方向总是 竖直向下的
（3）自由落体运动是一种理想的模型，当 重力远远大于阻力时 可以看成是自由落体运动
（4）自由落体运动的规律 ①速度和时间的关系：v=gt ②位移与时间的关系：h?12gt 2③位移与速度的关系：v2=2gh
vgt④中间时刻的瞬时速度：vt?v??，中间位置的速度：vx?22223．竖直上抛运动
v22?2gt 2（1）将物体以一定的初速度沿 竖直 方向向上抛出，物体只在 重力 作用下的运动，叫竖直上抛运动
（2）运动特点：竖直上抛的加速度为g，上升阶段做 匀减速直线运动 ，下降阶段做 匀加速直线运动
（3）竖直上抛运动的性质：初速度v0?0，加速度a??g的匀变速直线运动。（通常以v0的方向为正）；
（4）竖直上抛运动的规律：
规定竖直向上为正方向，有vt?v0?gt；h?v0t?（5）几个特征量：
2v0①最大高度：hmax?
2g122?2gh gt；vt2?v02②上升到最大高度处所需时间t上和从最高点下落回抛出点所需时间t下相等，即
t上?t下?v0 g（6）竖直上抛的上升阶段和下降阶段具有对称性。
①速度对称性：上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向。 ②时间对称性：上升和下降过程经过同一段高度的上升和下降时间相等。 （7）竖直上抛运动的两种研究方法：
①分段法：上升阶段是匀减速直线运动，下落阶段是自由落体运动。下落过程是上升过程的逆过程；
②整体法：从全过程来看，加速度方向始终与初速度方向相反，所以可把竖直上抛运动看成是一个匀变速直线运动。
典型例题
【例1】物体沿一直线运动，在t时间内通过的位移为x，它在中间位置
1x处的速2度为v1，在中间时刻
1t时的速度为v2，则v1和v2的关系为 ( ) 2A．当物体做匀加速直线运动时，v1>v2 B．当物体做匀减速直线运动时，v1>v2 C．当物体做匀速直线运动时，v1＝v2 D．当物体做匀减速直线运动时，v1 22设物体运动的初速度为v0，末速度为vt，有vt?v0＝2a?x ① 22v1?v0?2a?x ② 22v0?vt2由①②式解得v1＝ ③ 2由速度公式可求得v2＝(v0＋vt)/2 ④ 而③④两式，对匀加速、匀减速直线运动均成立.用数学方法可知，只要v0≠vt，必有v1>v2；当v0＝vt，做匀速直线运动，必有v1＝v2.所以，正确选项应为A、B、C. 答案：ABC 【例2】一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一个人站在第1节车厢前端的站台前观察，第1节车厢通过他历时2 s，全部车厢通过他历时8 s，忽略车厢之间的距离，车厢长度相等，求： (1)这列火车共有多少节车厢？ (2)第9节车厢通过他所用的时间为多少？ 解析：(1)根据做初速度为零的匀加速直线运动的物体，连续通过相等位移所用时间 之比为 1∶(2－1)∶(3?2)∶…∶(n?n?1) t111 ??t1?(2?1)?(3?2)???n?n?1n所以 21?，n＝16，故这列火车共有16节车厢. 8n(2)设第9节车厢通过他所用时间为t9，则 t11，t9＝9?8t1=(6-42) s=0.34 s ?t99?8【练习1】一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零．若设斜面全 3 长L，滑块通过最初L所需时间为t，则滑块从斜面底端到顶端所用时间为( ) 4 453 A．t B．t C．t D．2t 332 解析：假设存在逆过程，即为初速度是零的匀加速直线运动，将全过程分为位移均为L/4的四个阶段，根据匀变速直线运动规律，其时间之比为1∶(2－1)∶(3－2)∶(2－3)，t 根据题意可列方程：＝，t′＝2t. 1＋(2－1)＋(3－2)＋(2－3)t′ 答案：D 【例3】一矿井深为125m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球．当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，求： （1）相邻两个小球开始下落的时间间隔； （2）这时第3个小球和第5个小球相隔的距离．（g=10m/s2） (2－1)＋(3－2)＋(2－3) 【练习2】屋檐定时滴出水滴，当第5滴正欲滴下时，第1滴已刚好达到地面，而第3滴与第2滴正分别位于高1 m的窗户上、下沿，如图所示，取g＝10 m/s2，问： (1)此屋檐离地面多少米？ (2)滴水的时间间隔是多少？ 解析：(1)初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，连续相等时间内位移比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，令相邻两水滴间的距离从上到下的比依次为x∶3x∶5x∶7x. 由题意知，窗高为5x，则 5x＝1 m，x＝0.2 m 屋檐高h＝x＋3x＋5x＋7x＝3.2 m (2)由公式h＝ 12t2hgt得一滴水落地的时间为t＝＝0.8 s，T＝＝0.2 s 24g【例4】某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2.5 s内物体的( ) A．路程为65 m B．位移大小为25 m，方向向上 C．速度改变量的大小为10 m/s D．平均速度大小为13 m/s，方向向上 2v0v0解析：物体的上升时间t＝＝3 s，上升高度H＝＝45 m，下降阶段t1＝(5－3) s＝2 s， 2gg12下降的位移x1＝gt1＝20 m.所以5 s时物体的位移x＝H－x1＝25 m，方向向上.路程s 2＝H＋x1＝65 m.5 s时速度大小v1＝gt1＝20 m/s，方向向下，5 s内速度改变量Δv＝v1－v0＝－50 m/s，方向向下.v?答案：AB 【练习3】如图所示，离地面足够高处有一竖直的空管，质量为2 kg，管长为24 m，M、N为空管的上、下两端，空管受到F＝16 N竖直向上的拉力作用，由静止开始竖直向下做加速运动，同时在M处一个大小不计的小球沿管的轴线竖直上抛，小球只受重力，取g＝10 m/s2.求： (1)若小球上抛的初速度为10 m/s，则其经过多长时间从管的N端穿出； (2)若此空管的N端距离地面64 m高，欲使在空管到达地面时小球必须落到管内，在其他条件不变的前提下，求小球的初速度大小的范围． 解析：(1)对管由牛顿第二定律得mg－F＝ma① 代入数据得a＝2 m/s2 设经过t时间从N端穿出 1 对管：h＝at2② 2 x25 m/s＝5 m/s，方向向上. ?t5
高三一轮复习 匀变速直线运动 第二讲 匀变速直线运动的应用(解析版)
