2024年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－x－2＜0且x∈Z}，则A∩B＝
A．{1}
B．{1，2}
C．{0，1，2，3}
D．{－1，0，1，2，3}
2．（生活实际题）某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只
去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有 A．6种
B．24种
C．36种
D．72种
3．（逻辑题）甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说：“我没去过”，乙说：“丁
去过”，丙说：“乙去过”，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是 A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
4．（学科交织题）温度对许多化学反应的反应速率有非常大的影响．一般来说，温度每升高
10 K，化学反应的反应速率大约增加2～4倍．瑞典科学家Arrhenius总结了大量化学反应的反应速率与温度之间关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数(k)与温度(T)之间呈指数关系，并提出了相应的Arrhenius公式：
k?Ae?EaRT
式中A为碰撞频率因子(A＞0)，e为自然对数的底数，Ea为活化能，R为气体常数．通过Arrhenius公式，我们可以获得不同温度下化学反应的速率常数之间的关系．已知温度为T1时，化学反应的速率常数为k1；温度为T2时，化学反应的速率常数为k2．则lnk1? k2A．
(T2?T1)R
EalnAB．
(T1?T2)R
EalnAC．
Ea(T2?T1)
RT1T2D．
Ea(T1?T2)
RT1T2 5．设a，b，c为单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为
A．－2 B．2－2 C．－1 D．1－2 6．（数学文化题）我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：“割
之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率．如果用圆的内接正n边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为πn，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值π2n可以表示为
πnA．πn B． C．πn D．πn
180?360?180?90?coscossinsinnnnn 7．（社会热点题）新型冠状病毒肺炎（COVID－19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取
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得了抗疫斗争的初步胜利．面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核酸检测．若任一成员出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性相互独立，且概率均为p (0＜p＜1)．该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”的概率为f (p)，当p＝p0时，f (p)最大，此时p0＝
155155 B． C．1? D．1? 5555 8．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f ′(x)，若∈x∈R，都有2f(x)＋xf ′(x)＜2，则使x2f(x)－
f(1)＜x2－1成立的实数x的取值范围是 A．{x|x≠±1} B．(－1，0)∈(0，1) C．(－1，1) D．(－∞，－1)∈(1，＋∞)
A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。 9．若0＜c＜1，a＞b＞1，则 A．logac＞logbc B．abc＞bac 10．下列四个命题中，真命题为
A．若复数z满足z∈R，则z?R C．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．alogbc＞blogac
D．a(b－c)＞b(a－c)
1
B．若复数z满足∈R，则z∈R
z
D．若复数z1，z2满足z1·z2∈R，则z1?z2
11．已知抛物线C：y2＝2px (p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，
Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则 A．C的准线方程为y＝1 B．线段PQ长度的最小值为4
→→
C．M的坐标可能为(3，2) D．OP·OQ＝－3 12．（五育导向题·美育）黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an (n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)．再将扇形面积设为bn (n∈N*)，则 A．4(b2024－b2024)＝πa2024·a2024
B．a1＋a2＋a3＋…＋a2024＝a2024－1
C．a12＋a22＋a32…＋(a2024)2＝2a2024·a2024
D．a2024·a2024－(a2024)2＋a2024·a2024－(a2024)2＝0 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（数据分析题）某公司的广告费支出x (单位：万元)与营业额y (单位：万元)之间呈线性相
关关系，收集到的数据如下表：
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广告费支出x (单位：万元) 营业额y (单位：万元) 10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 由最小二乘法求得回归直线方程为y?0.67x?a，则a的值为__________．
14．（开放举例题）已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，
给出下面四个论断：∈m∈n；∈α∈β；∈n∈β；∈m∈α．以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________________． 15．已知P是直线3x＋4y－10＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，
C为圆心，A，B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为__________． 16．（双空题）在△ABC中，sin (A－B)＝sin C－sin B，则cos A＝__________；点D是BC上
靠近点B的一个三等分点，记
sin ∈ABD
＝，则当?取最大值时，tan ∈ACD＝
sin ∈BAD?__________．（本题第一空2分，第二空3分．）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）
记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6． （1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 18．（结构不良问题）（12分） 在∈离心率为3，且经过点(3，4)；②一条准线方程为x＝4，且焦距为2．这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l存在，求出l的方程；若问题中的直线l不存在，说明理由．
问题：已知曲线C：mx2＋ny2＝1(m，n≠0)的焦点在x轴上，____________，是否存在过点P(－1，1)的直线l，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点？
注：若选择条件∈和条件∈分别解答，按第一个解答计分． 19．（三角函数与解三角形结合）（12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(2sin (x－A)，sin A)，n＝
5π
(cos x，1)，f(x)＝m·n，且对任意x∈R，都有f(x)≤f()．
12
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）若a＝23，sin B＋sin C＝
6
，求△ABC的面积． 2
20．（联系高等数学、数学定理）（12分）
数学史上有一个著名的波尔约－格维也纳定理：任意两个面积相等的多边形，它们可以相互拼接得到．它由法卡斯·波尔约（Farks Bolyai）和保罗·格维也纳（Paul Gerwien）两位数学家分别在1833年和1835年给出证明。试据此解决以下问题： （1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等．请设计一
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