新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点 （1） 求证：EFGH是平行四边形
（2） 若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
A E H D
F C
证明：在?ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH?同理，FG//BD,FG?(2) 90° 30 °
考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角
2、如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB?平面CDE;
（2）平面CDE?平面ABC。 证明：（1）
A E
G
B
1BD 21BD∴EH//FG,EH?FG∴四边形EFGH是平行四边形。 2BC?AC???CE?AB
AE?BE?B
同理，
AD?BD???DE?AB
AE?BE?C
又∵CE?DE?E ∴AB?平面CDE （2）由（1）有AB?平面CDE
又∵AB?平面ABC， ∴平面CDE?平面ABC
D
考点：线面垂直，面面垂直的判定
3、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点， 求证： A1C//平面BDE。
证明：连接AC交BD于O，连接EO， ∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，A1C在平面BDE外 ∴A1C//平面BDE。 考点：线面平行的判定
4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求证：AD?面SBC．
oA
D1
B1
E C
A D
B C
证明：∵?ACB?90° ?BC?AC
又SA?面ABC ?SA?BC ?BC?面SAC ?BC?AD
又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC 考点：线面垂直的判定
5、已知正方体ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.
SDACBD1A1DOABB1C1?面AB1D1． 求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC1证明：（1）连结A1C1，设
A1C1?B1D1?O1，连结AO1
∵ ABCD?A1B1C1D1是正方体 ?A1ACC1是平行四边形
C
∴A1C1∥AC且 A1C1?AC 又O1,O分别是A1C1,AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1?AO
?AOC1O1是平行四边形 ?C1O∥AO1,AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1 ∴C1O∥面AB1D1
（2）QCC1?面A1B1C1D1 ?CC1?B1D! 又
∵A1C1?B1D1同理可证
A1C?AD1?B1D1 ， ?B1D1?面AC11C 即AC1， 又
D1B1?AD1?D1
?A1C?面AB1D1
考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定
6、正方体ABCD?A'B'C'D'中，求证：（1）AC?平面B'D'DB；（2）BD'?平面ACB'.
考点：线面垂直的判定
7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
D1 A1 E D B1 C1 F G C
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
又BD ?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C， ∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
考点：线面平行的判定（利用平行四边形）
8、四面体ABCD中，AC?BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF?2AC， 2?BDC?90o，求证：BD?平面ACD
证明：取CD的中点G，连结EG,FG，∵E,F分别为AD,BC的中点，∴EG1//?AC 2//1BD，又AC?BD,∴FG?1AC，∴在?EFG中，EG2?FG2?1AC2?EF2 FG?222o ∴EG?FG，∴BD?AC，又?BDC?90，即BD?CD，AC?CD?C
∴BD?平面ACD
考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形
9、如图P是?ABC所在平面外一点，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，
AN?3NB P（1）求证：MN?AB；（2）当?APB?90，AB?2BC?4时，求MN的长。
o证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点，
∴QN是MN在平面PAB内的射影 ，取 AB的中点D，连结 PD，∵PA?PB,∴
[来源学§科§网]M∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB ，∴ MQ?平面PAB
CAPD?AB，又AN?3NB，∴BN?ND NB ∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂线定理得MN?AB
1o （2）∵?APB?90，PA?PB,∴PD?AB?2，∴QN?1，∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ，且
21MQ?BC?1，∴MN?2 2考点：三垂线定理
10、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.
证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，?EF∥BD 又EF?平面BDG，BD?平面BDG?EF∥平面BDG ∵D1GEB?四边形D1GBE为平行四边形，D1E∥GB
又D1E?平面BDG，GB?平面BDG?D1E∥平面BDG
EF?D1E?E，?平面D1EF∥平面BDG
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）
11、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点. （1）求证：A1C//平面BDE； （2）求证：平面A1AC?平面BDE. 证明：（1）设AC?BD?O，
∵E、O分别是AA1、AC的中点，?A1C∥EO
?平面BDE，EO?平面BDE，?A1C∥平面BDE 又AC1（2）∵AA1?平面ABCD，BD?平面ABCD，AA1?BD 又BD?AC，
AC?AA1?A，?BD?平面A1AC，BD?平面BDE，?平面BDE?平面A1AC
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定
12、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E为BC的中点．
（1）求证：DE?平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角． 证明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE
222∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE 又PA?AE?A，?DE?平面PAE （2）?DPE为DP与平面PAE所成的角
高中数学必修二立体几何常考证明题汇总
