《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解
第二章
2-1 试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。
1Cs?R1，z?R，则传递函数为： (a)z1?221RCs?11R1?CsR1?(b) 设流过C1、C2的电流分别为I1、I2，根据电路图列出电压方程： 并且有
联立三式可消去I1(s)与I2(s)，则传递函数为：
2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以ui为输入，uo为输出的传递函数。 (a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：对上式进行拉氏变换得到 故传递函数为
(b)由运放虚短、虚断特性有：Cuidudu??Ci?C0，uc?ui?u0， Rdtdtducui?uc?ucuu???0，c?0?0，
R2R1dtR2R2联立两式消去uc得到 对该式进行拉氏变换得 故此传递函数为 (c)Cducuc?u0uuu??c?0，且i??c，联立两式可消去uc得到 dtR1/2R1/2RR12对该式进行拉氏变换得到 故此传递函数为
2-3 试求图2-T-3中以电枢电压ua为输入量，以电动机的转角?为输出量的微分方程式和传递函数。 解：设激磁磁通??Kfif恒定
2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差ue即是无惯性放大器（放大系数为Ka）的输入，放大器向直流电动机M供电，电枢电压为u，电流为I。电动机的角位移为?。
解：
C?s??R?s?KACm?
60??iLaJs3?i?Laf?RaJ?s2?i?Raf?Ce?Cm??s?KACm?2????6d?0.u026??。假?12-5 图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流id与ud间的关系为id?10??e????设电路中的R?10?，静态工作点u0?2.39V，
3i0?2.19?10?3A。试求在工作点(u0,i0)附近
id?f(ud)的线性化方程。
解：id?2.19?10?3?0.084?ud?0.2?
2-6 试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。 解：分别对物块m1、m2受力分析可列出如下方程： 代入v1?dy1dy2、v2?得 dtdt2-7 图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为?i，温度计显示温度为?。试求传递函数度计有贮存热的热容C和限制热流的热阻R）。 解：根据能量守恒定律可列出如下方程： 对上式进行拉氏变换得到 则传递函数为
2-8 试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数
解：(a) 化简过程如下 R(s) R(s) + +
R(s) _ R(s) R(s) + G2 G1 _ + G1+G2 + G1+G G21R(s) H1 G2 + G1 + _ _ + _ + G2 _ G3 G4 G3 C(s) C(s) C(s) H1 C(s) + + C(s) ?(s)（考虑温?i(s)C(s)。 R(s)传递函数为 (b) 化简过程如下
R(s) + 传递函数为G3 G3 H2 C(s) G1+H1 + a) H1 H3 G1 图2-T-8 G2 G4 H1 _ + R(s) _ G1 G2 + b) R(s) _ C(s)2-9 试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数。 H3+H2/G1 1/G H2 1R(s)
R(s) + 解：化简过程如下 _ + 0.7 _ 0.5 + H3 G4+G2G3 + G3 C(s) + C(s) C(s) C(s)
R(s) + 0.7 C(s) + _ _ + _ 0.7 C(s) R(s) C(s) R(s) 系统的传递函数为 0.4 Ks C(s)2-10 绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数。 R(s)
系统的传递函数为 R(s) + Ks H2 + + C(s) G1 G2 G13 C(s)C2(s)2-11 试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数和（设R2(s)?0）。 + _ +
_ 解：系统信号流程图如图所示。R1(s) + H1 R1(s)R2(s)G4 G题G2 G3 1 2-11 系统信号流程图C1(s) + C(2-T-10 s)图2-12 求图2-T-12所示系统的传递函数。 R(s)H2 H1 + ?L?cdh， C2(s) R2(s) + 解：(a) 系统只有一个回环：+ 1G5 G6 G4 _ 在节点R(s)和C(s)之间有四条前向通道，分别为：P1?abcdef，P2?abcdi，
P3?agdef，
P4?agdi，相应的，有：?1??2??3??4?1
则
(b) 系统共有三个回环，因此，?L1??图2-T-11
111??， R1C1sR2C2sR1C2s1?1?1??两个互不接触的回环只有一组，因此，?L2?? ????2R1C1s?R2C2s?RRCCs1212?在节点R(s)和C(s)之间仅有一条前向通道：P1?1?1111??1??，并且有?1?1，则 sC1R1sC2R1C1C2s22-13 确定图2-T-13中系统的输出C(s)。
1C1(s)G1G2D2(s) 解：采用叠加原理，当仅有R(s)作用时，+ ?， _ R(s) + + R(s)+ 1?G2H?GGH+ 2121D(s) _ 当仅有D1(s)作用时，G1 C2(s)G2?， D1(s)1?G2H2?G1G2H1C3(s)G2+ ， ??D2(s)1?G2H2?G1G2HD1(s) 3
_ G2 H2 C(s) H1 + 当仅有D2(s)作用时，图2-T-13
当仅有D3(s)作用时，根据叠加原理得出
C4(s)G1G2H1??
D3(s)1?G2H2?G1G2H1第三章
3-1 设系统的传递函数为
求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。 解：当输入为单位斜坡响应时，有
r(t)?t，R(s)?所以有 分三种情况讨论 （1）当??1时， （2）当0???1时， （3）当??1时， 设系统为单位反馈系统,有 系统对单位斜坡输入的稳态误差为
1 s23-2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为
（1）G(s)?50K （2）G(s)?
(1?0.1s)(1?2s)s(1?0.1s)(1?0.5s)K(1?2s)(1?4s)KG(s)? （4）
s(s2?4s?200)s2(s2?2s?10)s?0s?0（3）G(s)?解：（1）Kp（2）Kp（3）Kp（4）Kp?limG(s)?50,Kv?limsG(s)?0,Ka?lims2G(s)?0；
s?0s?0s?0?limG(s)??,Kv?limsG(s)?K,Ka?lims2G(s)?0；
s?0?limG(s)??,Kv?limsG(s)??,Ka?lims2G(s)?s?0s?0s?0K； 10?limG(s)??,Kv?limsG(s)?s?0s?0K,Ka?lims2G(s)?0
s?02003-3 设单位反馈系统的开环传递函数为
若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。
（1）r(t)?R0，（2）r(t)?R0?R1t，（3）r(t)?R0?R1t?解：首先求系统的给定误差传递函数 误差系数可求得如下
（1）r(t)?R0，此时有rs(t)?R0,1R2t2 2?s(t)??rr?s(t)?0，于是稳态误差级数为 esr?t??C0rs(t)?0，t?0
（2）r(t)?R0?R1t，此时有rs(t)?R0?R1t,?s(t)?R1,?rr?s(t)?0，于是稳态误差级数为
?s(t)?0.1R1，t?0 esr?t??C0rs(t)?C1r （3）r(t)?R0?R1t?稳态误差级数为
11?s(t)?R1?R2t，?r?s(t)?R2，于是R2t2，此时有rs(t)?R0?R1t?R2t2,r22?s(t)?esr?t??C0rs(t)?C1r3-4 设单位反馈系统的开环传递函数为
C2?r?(t)?0.1(R1?R2t)，t?0 s2!若输入为r(t)?sin5t，求此系统的给定稳态误差级数。 解：首先求系统的给定误差传递函数 误差系数可求得如下 以及
则稳态误差级数为
3-6 系统的框图如图3-T-1a所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b），试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。
R(s) R(s) + C(s) _ + 解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：esrC(s) ，加入比例—微分环节后 a) 可见取a?2?_ ?n?2?图3-T-1
3-7 单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为
从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，Mp传递函数中的参量?及?n。
解：由图可以判断出0???1，因此有 代入Mp?n，可使esr?0
b)
?0.096，tp?0.2s。试确定
?0.096，tp?0.2可求出
???0.598 ???n?19.5883-8 反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求 （1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。 （2）整个系统的特征方程为s?4s?6s?4?0 求三阶开环传递函数G(s)，使得同时满足上述要求。 解：设开环传递函数为
32R(s) + _ G(s) C(s) 图3-T-3
自动控制理论第四课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版
