2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
含详细答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设??=1+2??，则|??|=( )
3???
A. 2 B. √3
C. √2 D. 1
2. 已知集合??={1,2，3，4，5，6，7}，??={2,3，4，5}，??={2,3，6，7}，则??∩?????=( ) A. {1,6} B. {1,7} C. {6,7} D. {1,6，7} 3. 已知??=log20.2,??=20.2,??=0.20.3，则( )
A. ??
的长度之比是√
5?1√5?1
(22
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断
臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√
5?12
.若某人满足上述两个黄金分割比例，且
腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
( )
A. 165cm B. 175cm C. 185cm D. 190cm
5. 函数??(??)=????????+??2在[???,??]的图象大致为( )
????????+??
A.
B.
C.
D.
6. 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从
这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 7. ??????255°=( )
A. ?2?√3 B. ?2+√3 C. 2?√3 D. 2+√3
? 满足|??? |，且(??? )⊥??? ，则??? 的夹角为( ) ? ，??? 与??8. 已知非零向量??? |=2|??? ???
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A. 6
9. 下图是求2+
1
112+2
??
B. 3
??
C. 3
2??
D. 6
5??
的程序框图，图中空白框中应填入( )
A. ??=2+?? B. ??=2+?? C. ??=1+2?? D. ??=1+2??
10. 双曲线??:2?2=1(??>0,??>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则双曲线C的
????
离心率为( )
??2
??2111
1
A. 2??????40° B. 2??????40° C.
D.
11. △??????的内角A，B，C的对边分别为a，b，??.已知?????????????????????=4??????????，
????????=?，则=( ) 4??
1
??
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
12. 已知椭圆C的焦点为??1(?1,0),??2(1,0)，过??2的直线与C交于A，B两点.若|????2|=
2|??2??|，|????|=|????1|，则C的方程为( )
A.
??22
+??=1
2
B.
??23
+
??22
=1
C.
??24
+
??23
=1
D.
??25
+
??24
=1
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线??=3(??2+??)????在点(0,0)处的切线方程为________．
14. 记Sn为等比数列{????}的前n项和.若??1=1,??3=4，则??4=___________． 15. 函数??(??)=sin(2??+
3??2
3
)?3cos??的最小值为___________．
16. 已知∠??????=90°，P为平面ABC外一点，????=2，点P到∠??????两边AC，BC的
距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17. 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该
商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
男顾客 满意 40 不满意 10 第2页，共16页
女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：??2=(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)． ??(??2≥??) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 ??(?????????)2
18. 记????为等差数列{????}的前n项和，已知??9=???5．
(1)若??3=4，求{????}的通项公式；
(2)若??1>0，求使得????≥????的n的取值范围．
19. 如图，直四棱柱???????????1??1??1??1的底面是菱
形，????1=4，????=2，∠??????=60°，E，M，N分别是BC，????1，??1??的中点． (1)证明：????//平面??1????； (2)求点C到平面??1????的距离．
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20. 已知函数??(??)=2??????????????????????，??′(??)为??(??)的导数．
(1)证明：??′(??)在区间(0,??)存在唯一零点； (2)若??∈[0,??]时，??(??)≥????，求a的取值范围．
21. 已知点A，B关于坐标原点O对称，|????|=4，⊙??过点A，B且与直线??+2=0
相切．
(1)若A在直线??+??=0上，求⊙??的半径；
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|????|?|????|为定值？并说明理由．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{
??=1+??2
4??1???2
??=1+??2(??为参数).以坐标原点O为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2??????????+√3??????????+11=0．
(1)求C和l的直角坐标方程； (2)求C上的点到l距离的最小值．
23. 已知a，b，c为正数，且满足??????=1.证明：
(1)??+??+??≤??2+??2+??2；
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1
1
1
(2)(??+??)3+(??+??)3+(??+??)3≥24．
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