2019版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式学案 文

3．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式

[知识梳理]

1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sinα＋cosα＝1.

πsinα??(2)商数关系：＝tanα?α≠＋kπ，k∈Z?. 2cosα??2．三角函数的诱导公式

2

2

[诊断自测] 1．概念思辨

(1)存在角α，β，使sinα＋sinβ＝1.( ) 11

(2)若sin(α－37°)＝，则cos(α＋53°)＝－.( )

3311

(3)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.( )

33

π

(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数2倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化；其中的“符号”与α的大小无关．( )

2

2

答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．教材衍化

(1)(必修A4P29B组T2)已知cos?4333A. B. C．－ D．± 3444答案 B 解析 因为cos?

34?π＋α?＝3，

所以sinα＝－.显然α在第三象限，所以cosα＝－，?55?2?5

?π＋α?＝3，且α∈?π，3π?，则tanα＝( )

?5?22??2???

3

故tanα＝.故选B.

4

(2)(必修A4P71T3)设函数f(x)＝ 象限角，则tanα的值( )

1111A. B．－ C. D．－ 2233答案 B

解析 ∵函数f(x)＝ ∴

1＋sinα－

1－sinα1＋sinx－

1－sinx1－sinx，且f(α)＝1，α为第二象限角．

1＋sinx1＋sinx－ 1－sinx1－sinx，且f(α)＝1，α为第二

1＋sinx1－sinα?1＋sinα??1－sinα?1＋sinα1－sinα＝?－?＝－－??1＋sinα?cosα??cosα?cosα－cosα1

＝－2tanα＝1，∴tanα＝－. 2

故选B. 3．小题热身

(1)(2018·石家庄一模)已知f(α)＝

sin?π－α?·cos?2π－α??25π?的值为( )

，则f?－3?cos?－π－α?·tan?π－α???1133

A. B．－ C. D．－ 2222答案 A

sinαcosα解析 ∵f(α)＝＝cosα，

－cosα·?－tanα?

?25π?＝cos?－25π?＝cos?8π＋π?＝cosπ＝1.故选A. ∴f?－??3?3?3?32??????

π?1??π?(2)(2017·桂林模拟)若sin?α－?＝，则cos?＋α?＝________.

4?3??4?1

答案 －

3

?π?π???π??π

解析 cos?＋α?＝cos?－?－α??＝sin?

???4??4?2?4

－α)

π?1?＝－sin?α－?＝－. 4?3?

题型1 同角三角函数关系式的应用

π1

典例 (2017·杭州模拟)已知－2

(3)求1cos2x－sin2x的值．

本题可采用方程组法、平方法、“1”的巧用，切弦

互化．

解 (1)∵sinx＋cosx＝15，∴(sinx＋cosx)2

＝??1?5??2?，

即1＋2sinxcosx＝124

25，∴2sinxcosx＝－25. ∵(sinx－cosx)2

＝sin2

x－2sinxcosx＋cos2

x ＝1－2sinxcosx＝1＋2425＝49

25.①

又∵－π

20，

∴sinx－cosx<0.②

由①②可知sinx－cosx＝－7

5.

(2)由已知条件及(1)可知 ??sinx＋cosx＝1

，?5??sinx－cosx＝－75，

??sinx＝－3

，?5解得??cosx＝4

5

，

∴tanx＝－34.

(3)由(1)可得

11

cos2x－sin2x＝

?cosx＋sinx??cosx－sinx?

＝

1

25

17＝. 5×75