二.填空题（本大题共4小题，每小题4分．）
x2y2??1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为 13、椭圆
259___________. 20 [解析]：△PQF2的周长=4a 14、过原点作曲线y?ex的切线，切线的斜率为 . e
x215、过点M(3,?1)且被点M平分的双曲线?y2?1的弦所在直线方程为 .
43x?4y?5?0[解析]： 由‘点差法’ 可得斜率为?3 416、如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为
(0，，，，，4)(20)(64)， 函数f(x)在x?1处的导数f?(1)?_________．?2
三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
y 4 3 2 1 A C B O 1 2 3 4 5 6 x 17、（本小题满分12分）已知椭圆C的焦点F1（－22，0）和F2（22，0），长轴长6，设直线y?x?2交椭圆C于A B两点，求线段AB的中点坐标
解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
?x22x??y?122?y?1.联立方程组?9,消去y得, 10x?36x?27?0. 9??y?x?218x?x29?设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0)那么: x1?x2??,x0=1255191所以y0=x0+2=.也就是说线段AB中点坐标为(-,).
555218、（本小题满分12分）求函数f(x)=
2xx2?1-2的极值。
解：由于函数f(x)的定义域为R
f＇(x)＝
（2x?1）?4x22（x?1）-1 0 极小值 - ↘ 22??2(x?1)(x?1) 22(x?1)1 0 令f＇(x)＝０得x=-1或x=1列表： x f＇(x) f(x) (-∞,-1) (-1,1) + (1, ∞) - ↘ ↗ 极大值 由上表可以得到 当x=-1时函数有极小值为-3；当x=1时函数有极大值为-1
19、（本小题满分12分）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y?2x?1截
得的弦长为15，求抛物线的方程 ?y2?2px解：设抛物线的方程为y?2px，则?,消去y得
?y?2x?124x2?(2p?4)x?1?0,x1?x2?p?21,x1x2? 24p?221)?4??15， 24AB?1?k2x1?x2?5(x1?x2)2?4x1x2?5(则p2?p?3,p2?4p?12?0,p??2,或6?y2??4x，或y2?12x 432220、（本小题满分12分）已知函数f(x)?x?mx?mx?1（m为常数，且m>0）有极大值9.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线y?f(x)的切线，求此直线方程. 解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x= 当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表： x f’(x) f (x) (－∞,－m) + －m 0 极大值 (－m,1m, 31m) 31m 30 极小值 (1m,+∞) 3+ － 从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－又f(－1)＝6，f(－1. 3168681)＝，所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)， 327273即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.
21、（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为(3,0)（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l:y?kx?2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA?OB?2（其
中O为原点）. 求k的取值范围.
x2y2解：（Ⅰ）设双曲线方程为2?2?1 (a?0,b?0).由已知得
abx2a?3,c?2,再由a?b?2,得b?1.故双曲线C的方程为?y2?1.
32222x2?y2?1得 (1?3k2)x2?62kx?9?0.由直线l与双曲（Ⅱ）将y?kx?2代入32?1?1?3k?0,22线交于不同的两点得?即k?且k?1.
2223????(62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.① 设A(xA,yA),B(xB,yB)，则
xA?xB?62k?9,xx?,由OA?OB?2得xAxB?yAyB?2, AB1?3k21?3k2而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA?2)(kxB?2)?(k2?1)xAxB?2k(xA?xB)?2
?962k3k2?7?(k?1)?2k?2?.
1?3k21?3k23k2?123k2?7?3k2?912?2,即?0,解此不等式得于是?k?3. ② 由①、②得 223k?13k?13
331)?(,1). ?k2?1.故k的取值范围为(?1,?33332222、（本小题满分14分）设函数f(x)?ax?bx?3ax?1(a，b?R)在x?x1，x?x2处取得极值，且x1?x2?2．
（Ⅰ）若a?1，求b的值，并求f(x)的单调区间； （Ⅱ）若a?0，求b的取值范围．
解：f?(x)?3ax?2bx?3a．① ····································································· 2分 （Ⅰ）当a?1时，f?(x)?3x?2bx?3；
222由题意知x1，x2为方程3x?2bx?3?0的两根，所以x1?x2?24b2?36． 3由x1?x2?2，得b?0． ··············································································· 4分 从而f(x)?x?3x?1，f?(x)?3x?3?3(x?1)(x?1)．
当x?(?11)，时，f?(x)?0；当x?(?∞，?1)U(1，∞?)时，f?(x)?0．
故f(x)在(?11)······························ 6分 ，单调递减，在(?∞，?1)，(1，∞?)单调递增． ·（Ⅱ）由①式及题意知x1，x2为方程3x?2bx?3a?0的两根，
22224b2?36a3所以x1?x2?．从而x1?x2?2?b2?9a2(1?a)，
3a由上式及题设知0?a≤1． ············································································· 8分
2考虑g(a)?9a?9a，g?(a)?18a?27a??27a?a?23??2??． ………………………10分 3??2?4 ??．
33??1?单调递减，从而g(a)在?01故g(a)在?0，?单调递增，在?，，?的极大值为g?又g(a)在?01，?上只有一个极值，所以g???2?3??2??3??2?4上的最大值，且最小值为，???为g(a)在?01?3?3?4?g(1)?0．所以b2??0，?，即b的取值范围为
?3?
高二文科数学选修期末考试试卷有答案
