辽宁省实验中学2021届高三第四次模拟考试数学参考答案
一.选择题：1. C 2. B 3. B 4. D 5. A 6. D 7. C 8.A 二.多选题：9.CD 10.BCD 11.ACD 12.BCD 三.填空题： 13.4 14. 15. 16.
3
3
2
1
1011
四.解答题：
17.解：（1）D点轨迹为以AC为直径的半圆，圆心为AC中点E ……2分 所以BD最大值为BE加半径1 ??????????=√13+1 ………………4分 (2)设∠??????=??，AC=a，则AB=3a，AD=asin?，CD=acos?， 由题意S1?ABC=6S?2a?3a=6?1ACD，则2acos??asin?， 所以sin2?=32tan?3=1+tan2?. 则tan2??23tan?+1=0，解得tan?=3?2. （注：也可设直角边长求正切值，酌情给步骤分）
18. 解：（1）记aa2n为n天后感染总人数，则a1=2.2，2=2.2， 所以a99=2.2?1207
即第9天后感染总人数是1207万人. （2）记bn为第n天收入医院的人数，所以b1=1，b2=1.2， 由题意得{bn?1n}为首项为1，公比为1.2的等比数列，所以bn=1.2，
若n天后总感染人数超过1000万，即b1+b2++bn+1.2?bn?1000， 所以1+1.2+1.22++1.2n?1000，所以1.2n+1?201， 又因为1.230?237.4?201，1.229?197.8?201，
所以n+1?30，所以n?29，即第29天后感染总人数将超过1000万. 19. 解：（1）E为PB的中点. 取PA的中点F，连EF、FD，E为PB的中点，即EF//AB,EF=12AB， 又CD//AB,CD=12AB， 则四边形CDFE为平行四边形，故CE//DF， ?????平面??????，CE?平面??????，故CE//面PAD. 21届高三四模考试数学答案 第1页
……5分 ……6分 …………8分 …………10分 ……2分
…………4分 …………5分
…………7分
…………9分
………………12分 …………2分 ………………4分 …………5分
（2）以A为坐标原点，以AD，AB，AP分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系A?xyz，如图所示，则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,2,0),C(1,1,0). 设E(x,y,z)，则PE=(x,y,z?1),PB=(0,2,?1).
E在棱PB上，可设PE=?PB(0???1).
?x=0?故(x,y,z?1)=?(0,2,?1)，解得?y=2?，即E(0,2?,1??). …………7分
?z=1???设平面PAC的法向量为u=(x1,y1,z1)，AP=(0,0,1),AC=(1,1,0)，
?u·?z1=0AP=0，即?，取x1=1，则u=(1,?1,0). ?x+y=0u·AC=0?11?设平面EAC的法向量v=(x2,y2,z2)，AE=(0,2?,1??),AC=(1,1,0)，
??v·AE=02???2?y2+(1??)z2=0? ?，即?，取x2=1，则v=?1,?1,?.
1???AC=0???v·?x2+y2=0二面角E?AC?P的正弦值为
→→36，则余弦值为， 333，即→→=cos?u,v?=3u?vu?v(1,?1,0)???1,?1,?2???1???2?2??2?1+1+???1???23???=，即??=1. 3?1???又0???1，解得?=1?1???1E0,1,AE=0,1,，即???. ………………9分 ?，22?2???z轴⊥平面ABCD，平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1)，设AE与平面ABCD所成角为?，
故AE与平面ABCD所成角的余弦值为20. 解：（Ⅰ）由函数f(x)的定义域(0,+?)， 因为f?(x)=ex?2t?1，x=1是f(x)的极值点， x 21届高三四模数学答案 第2页
公众号?1?1?1+???2?25. ……………………12分 5：潍坊sin?=则
m?AE=2=55.
高中m?AE12数学所以f?（1）=e1?2t?1=0，所以t=所以f?(x)=ex?1?1， ……………………2分 21， x1，在(0,+?)上单调递增，所以f?(x)在(0,+?)上单调递增， x因为y=ex?1和y=??当x?1时，f?(x)?0；0?x?1时，f?(x)?0，
此时，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+?)， ………………4分 （Ⅱ）证明：当t?1时，??(??)=?????2?????????+2≥?????2???????+2， …………5分 设g(x)=ex?2?lnx+2，则g?(x)=ex?2?因为y=ex?2和y=?因为g?（1）=1， x1，在(0,+?)上单调递增， 所以g?(x)在(0,+?)上单调递增， x111?1?0，g?（2）=1?=?0， e22所以存在x0?(1,2)使得g?(x0)=0， ……………………7分 所以在(0,x0)上使得g?(x)?0，在(x0，+?)上g?(x)?0，
所以g(x)在(0,x0)单调递减，在(x0，+?)上单调递增， 所以??(??)≥??(??0) …………………9分 因为g?(x0)=0，即ex0?2=1，所以lnx0=2?x0， x01+x0， ……………………10分 x0所以g(x0)=ex0?2?lnx0+2=因为x0?(1,2)，所以g(x0)=1+x0?2，所以f(x)?2． ……………………12分 x0
21. （1）解：两次试验后，随机变量??可能取值为2、3、4 ………………1分 2423123391
??(??=2)=()2=，??(??=3)=??2?=，??(??=4)=?= 52555255525
??的分布列为 ?? ?? 2 25 43 25 124 25 9 ………………4分
??的学期望为??(??)=3.2 ………………………………6分 222319
（2）证明：??1=，??2=×+= …………7分
555525 由已知 ????=
23
?????1+?????2 (n≥3) …………8分 55
393
即：??为首项，?为公比的等比数列 ????????1=?(?????1??????2) 故{??????????1}是以??2???1=5255
21届高三四模考试数学答案 第3页
辽宁省实验学校2020-2021学年高三下学期四模数学试题四模数学答案
