合肥一六八中学2024/2024学年第二学期期中考试
高二数学（理）试卷----宏志班
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知i是虚数单位，则复数z?2?i在复平面内对应的点所在的象限为（ ） 4?2iA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f?(x0)?0，那么x?x0是
3函数f(x)的极值点，因为f(x)?x在x?0处的导数值f?(0)?0，所以x?0是函数
f(x)?x3的极值点.以上推理中（ ）
A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确 3.函数y?12x?lnx的单调递减区间为（ ） 2A. （-1,1） B. （0,1） C. (1,+∞) D. (0,+∞) 4.由曲线y?x,直线y?x?2及y轴所围成的平面图形的面积为( )
A. 6 B. 4 C.
1016 D. 33n*5. 利用数学归纳法证明“?n?1??n?2?L?n?n??2?1?3?L??2n?1?,n?N”时，从“n?k”变到“n?k?1”时，左边应増乘的因式是 ( ) A.2k?1 B.
2k?1 C. ?2k?1??2k?2? D.2?2k?1? k?1，
，
，且
，则 ，，， 中至少有
6. 给出一个命题 ：若
一个小于零．在用反证法证明 时，应该假设 ( )
A. ，，， 中至少有一个正数 B. ，，， 全为正数 C. ，，， 全都大于或等于 D. ，，， 中至多有一个负数 7. 三角形的面积为S?1?a?b?c??r，（a,b,c为三角形的边长，r为三角形的内切圆的2半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为 ( ) A. V?1abc（a,b,c为底面边长） 3- 1 -
B. V?1?S1?S2?S3?S4?r（S1,S2,S3,S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球3的半径）
C. V?13Sh（S为底面面积，h为四面体的高） D. V?13?ab?bc?ac?h（a,b,c为底面边长，h为四面体的高）
8.函数f(x)?xlnx，正确的命题是（ ）
A.值域为R B.在?1，+??上是增函数 C.f(x)有两个不同零点 D.过(1,0)点的切线有两条
9.设a?sin1,b?2sin112，c?3sin3，则（ ） A. a?b?c B. a?c?b C. c?a?b D. c?b?a
10.已知函数y?f(x)(x?R)图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为y?y0?
(x20?2)(x0?1)(x?x0)，那么函数f(x)的单调减区间是（ ）
A.??1,???
B.???,2?
C.??1,1?,?2,???
D.???,?1?,?1,2?
11.关于函数f?x??2x?lnx，下列说法错误的是（ ） A. x?2是f?x?的最小值点
B. 函数y?f?x??x有且只有1个零点 C. 存在正实数k，使得f?x??kx恒成立
D. 对任意两个不相等的正实数x1,x2，若f?x1??f?x2?，则x1?x2?4 12.已知函数f(x)是定义在R上的增函数, f(x)?2?f?(x),f(0)?1,则不等式
ln?f(x)?2??x?ln3的解集为（ ）
A. ???,0? B. ?0,??? C. ???,1? D. ?1,???
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
113. 已知a???1?x2dx，则a的值为 ．
1
- 2 -
14. 已知?ABC的三边a,b,c既成等差数列，又成等比数列，则?ABC的形状是_______. 15. 设a为实数，若函数f?x??3?x?1?x?a存在零点，则实数a的取值范围 是 ．
f(x0)?f?(x0)，那么我们就16.如果函数y?f(x)在其定义域上有且只有两个数x0，使得x02x称函数y?f(x)为“双T函数”，则下列四个函数中：①y?x?1,②y?e,③y?lnx,④
y?sinx?1，为“双T函数”的是 ．(写出所有正确命题的序号)
三、解答题:共6大题，写出必要的解答过程.满分70分. 17.（本小题10分）已知复数z?(a2?4)?(a?2)i,a?R． （Ⅰ）若z为纯虚数，求实数a的值；
（Ⅱ）若z在复平面上对应的点在直线x?2y?1?0上，求实数a的值．
18. （本小题12分）设数列?an?的前n项之积为Tn，并满足Tn=1?an(n?N).
g（1）求a1,a2,a3；（2）证明：数列?
?1??为等差数列. ?Tn?19. （本小题12分）已知函数f(x)?13x?ax2?b在x??2处有极值. 3- 3 -
（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数f(x)在区间??3,3?上有且仅有一个零点，求b的取值范围.
20. （本小题12分）（Ⅰ）设A(x1,y1),B(x2,y2),O是坐标原点，且A,B,O不共线， 求证：S?OAB?1x1y2?x2y1； 2a2b2c2???1. （Ⅱ）设a,b,c均为正数，且a?b?c?1.证明：bca
(x?1)221. （本小题12分）已知函数f(x)?lnx?．
2(Ⅰ)求函数f?x?的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当x?1时，f?x??x?1；
（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0?1，当x?(1,x0)时，恒有f?x??k?x?1?．
22. （本小题12分）已知函数f(x)?x?ax?1,g(x)?lnx?a(a?R).
- 4 -
2（Ⅰ）讨论函数h(x)?f(x)?g(x)的单调性；
（Ⅱ）若存在与函数f(x),g(x)的图象都相切的直线，求实数a的取值范围. 参考答案
1-12 D A B D D C B B A D C A 13-16 ? 等边三角形
??2,2? ①③
217.解：Ⅰ若z为纯虚数，则，且，解得实数a的值为2；
Ⅱ在复平面上对应的点，
在直线上，则
，
解得
．
18.解：（1）a11?2,a232?3,a3?4 （2）猜测：a?nnn?1，并用数学归纳法证明（略）
T1n?1,?1n=1?an?T?n?1n，结论成立。 1或：T?1?1?an?1?1?an?1?1n?1TnTn?1Tn?1Tn?1 19.解: （Ⅰ）f?(x)?x2?2ax 由题意知: f?(?2)?4?4a?0,得a=-1，
∴f?(x)?x2?2x，令f?(x)?0，得x<-2或x>0, 令f?(x)?0，得-2 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，f(x)= 13x3?x2?b， - 5 -
安徽省合肥一六八中学2024_2024学年高二数学下学期期中试题理(宏志班)
