2017-2018学年高中数学北师大版选修1-1学案
m>0，??
表示焦点在y轴上的椭圆的条件是?n>0，
??n>m.
跟踪训练3 已知x2sin α＋y2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在x轴上的椭圆．求α的取值范围．
类型三 椭圆定义的应用
x2y2
例4 如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的
54面积．
引申探究
在例4中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连接BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长． 跟踪训练4
x2y2
已知椭圆的方程为＋＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)．求△PF1F2的面积．
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4
2017-2018学年高中数学北师大版选修1-1学案
1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是( ) A．椭圆 C．圆
B．直线 D．线段
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．
x2y2
5．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.
4924
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位臵，可直接设出标准方程；若焦点位臵不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．
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2017-2018学年高中数学北师大版选修1-1学案
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键． 思考2 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长． 梳理 常数(大于|F1F2|) 知识点二
思考1 椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2. 思考2 只有当2a>|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，满足条件的点不存在． 梳理 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝a2－b2 题型探究
例1 解 (1)∵c＝6，∴a2－b2＝c2＝6.① 又由a∶b＝2∶1，得a＝2b， 代入①，得4b2－b2＝6，解得b2＝2， ∴a2＝8.
又∵焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为x28＋y2
2
＝1.
(2)方法一 椭圆x225＋y2
9＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，
由椭圆的定义可得
2a＝?3＋4?2＋?15－0?2＋ ?3－4?2＋?15－0?2， ∴2a＝12，即a＝6.
∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为x236＋y2
20＝1.
方法二 由题意可设椭圆的标准方程为 x2y2
25＋λ＋9＋λ
＝1， 将x＝3，y＝15代入上面的椭圆方程，得
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32?15?2
＋＝1， 25＋λ9＋λ
解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， x2y2
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
3620
跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y轴上， y2x2
∴设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．
ab由椭圆的定义知， 2a＝
35?－?2＋?＋2?2＋ 22
35?－?2＋?－2?2 22
＝210，
即a＝10.又c＝2， ∴b2＝a2－c2＝6.
y2x2
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
106(2)∵椭圆的焦点在x轴上，
x2y2
∴设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．
ab又椭圆经过点(2,0)和(0,1)，
?∴?01
?a＋b＝1，
222??a＝4，∴?2 ?b＝1.?
40
＋＝1，a2b2
?
x22
∴所求椭圆的标准方程为＋y＝1.
4
例2 解 设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 将点(2，－2)，?－1，4A＋2B＝1，??得? 14
A＋B＝1，?4?
14?
代入， 2?
?解得?1
B＝?4.
1A＝，
8
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2017-2018学年高中数学北师大版选修1-1学案
x2y2
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
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x2y2
跟踪训练2 解 当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab1
∵A(0,2)，B(，3)在椭圆上，
2
??∴?1
??2?3??＋?ab＝1，
2
2
222??a＝1，解得?2
?b＝4，?
4
＝1，b2
这与a>b相矛盾，故应舍去．
当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 y2x2
＋＝1(a>b>0)， a2b21
∵A(0,2)，B(，3)在椭圆上，
2
??∴?1
??2?3?
?＋?ab＝1，
2
2
224
＝1，a2
?a2＝4，?解得?2
?b＝1，?
y22
∴椭圆的标准方程为＋x＝1，
4y22
综上可知，椭圆的标准方程为＋x＝1.
4
x2y2
例3 A [要使方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
m－13－mm－1>0，??
则m应满足?3－m>0，
??3－m>m－1，解得1 3 ∵A选项中{m|1 2故选A.] 跟踪训练3 解 x2sin α＋y2cos α＝1， 8
2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1全册学案
