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关于matlab中噪声功率谱密度与方差之间的关系的理解
1. 连续时间系统
高斯白噪声的定义为:如果一个噪声,它的幅度分布服从高斯分布,而它的功率谱密度又是均匀分布的,则称它为高斯白噪声。
故对于连续时间系统,理想的高斯白噪声的功率谱密度是一个常数,设为n0,而带宽是无限宽的,其功率为:
n0*???
(1)
在n0不是为无穷小的情况下,理想的噪声功率Pn是无限大的。
而实际当中,噪声带宽是有限宽的,只需要在我们所关心的频带范围内,噪声功率谱密
度是个常数,则我们可认为其是高斯白噪声。设噪声单边功率谱密度为n0,低通带宽为W,则其噪声功率为:
如图1.1所示:
Pn?n0*W 2(2)
幅度n02-WoW频率/HZ
图1.1
我们知道,高斯白噪声的分布为X~N(0,?),则其功率为:
2
Pn?E(x2)?D(x)?E2(x)?D(x)??2 (3)
-可编辑修改-
。
故对于低通系统有:
n0??2/W 2(4)
而对于带通系统,如图1.2所示,有:
Pn?幅度n0*2W?n0*W??2 2(5)
n02o-WW频率/HZ
2. 离散时间系统
对于离散时间系统而言,带宽受到抽样速率fs的限制。设WGN一秒内抽取的一组数据样本为:
2.1理论分析
由于时间为单个的离散点,故理想功率为0;但有下列定义:对于序列x[n]的能量E定义为序列各抽样值的平方和,则数据样本的能量为:
x[n]?x1,x2,....xfs
E(x[n])?0;D(x[n])?E(x2[n])??2
E??x(n)?fs*E[x(n)2]?fs*?2
1fs2(6)
将功率定义为序列能量除以序列的时间,即
Pt?E??2*fs(单位:J/S) Tb(7)
式中,Tb为序列时间,此处等于1S。
-可编辑修改-
。
如果功率单位采用W/symbol,则有:
Ps?Pt/fs??2(单位:J/symbol)
2.2另一种理解
而实际当中,抽样点是一个时间段,认为Ts?1/fs时间内的幅值就等于此抽样时刻的幅值,则单位抽样时间内的噪声能量为:
Et?E*Ts?fs*Ts*?2??2
(6)
则噪声功率(单位:J/symbol)为:
2222Pn?E{n12[n]*Ts?n2[n]*Ts?n3[n]*Ts?n4[n]*Ts?......nS[n]*Ts}
?fs*E[N2]*Ts?E[N2]??2
高斯白噪声经过抽样之后,其带宽如下所示:
幅度-fs-W-2fs-W-fsofsW2fsfs+W频率/HZ
故抽样之后功率谱密度仍然可近似为常数,其单边带宽为fs/2(根据奈奎斯特抽样定理)。设此时的单边功率谱密度为n0,故其功率为:
pn?n0*fs??2*fs 2(6)
-可编辑修改-
噪声功率谱密度与方差之间的关系
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