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关于matlab中噪声功率谱密度与方差之间的关系的理解
1. 连续时间系统
高斯白噪声的定义为：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。
故对于连续时间系统，理想的高斯白噪声的功率谱密度是一个常数，设为n0，而带宽是无限宽的，其功率为：
n0*???
（1）
在n0不是为无穷小的情况下，理想的噪声功率Pn是无限大的。
而实际当中，噪声带宽是有限宽的，只需要在我们所关心的频带范围内，噪声功率谱密
度是个常数，则我们可认为其是高斯白噪声。设噪声单边功率谱密度为n0，低通带宽为W，则其噪声功率为：
如图1.1所示：
Pn?n0*W 2（2）
幅度n02-WoW频率/HZ
图1.1
我们知道，高斯白噪声的分布为X~N(0,?)，则其功率为：
2
Pn?E(x2)?D(x)?E2(x)?D(x)??2 （3）
-可编辑修改-
。
故对于低通系统有：
n0??2/W 2（4）
而对于带通系统，如图1.2所示，有：
Pn?幅度n0*2W?n0*W??2 2（5）
n02o-WW频率/HZ
2. 离散时间系统
对于离散时间系统而言，带宽受到抽样速率fs的限制。设WGN一秒内抽取的一组数据样本为：
2.1理论分析
由于时间为单个的离散点，故理想功率为0；但有下列定义：对于序列x[n]的能量E定义为序列各抽样值的平方和，则数据样本的能量为：
x[n]?x1,x2,....xfs
E(x[n])?0;D(x[n])?E(x2[n])??2
E??x(n)?fs*E[x(n)2]?fs*?2
1fs2（6）
将功率定义为序列能量除以序列的时间，即
Pt?E??2*fs（单位：J/S） Tb（7）
式中，Tb为序列时间，此处等于1S。
-可编辑修改-
。
如果功率单位采用W/symbol，则有：
Ps?Pt/fs??2（单位：J/symbol）
2.2另一种理解
而实际当中，抽样点是一个时间段，认为Ts?1/fs时间内的幅值就等于此抽样时刻的幅值，则单位抽样时间内的噪声能量为：
Et?E*Ts?fs*Ts*?2??2
（6）
则噪声功率（单位：J/symbol）为：
2222Pn?E{n12[n]*Ts?n2[n]*Ts?n3[n]*Ts?n4[n]*Ts?......nS[n]*Ts}
?fs*E[N2]*Ts?E[N2]??2
高斯白噪声经过抽样之后，其带宽如下所示：
幅度-fs-W-2fs-W-fsofsW2fsfs+W频率/HZ
故抽样之后功率谱密度仍然可近似为常数，其单边带宽为fs/2(根据奈奎斯特抽样定理)。设此时的单边功率谱密度为n0，故其功率为：
pn?n0*fs??2*fs 2（6）
-可编辑修改-
噪声功率谱密度与方差之间的关系
