第33讲 轨迹方程
一．解答题（共22小题）
1．（2020?开封一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，动点Q到点F的距离比到y轴的距离大1个单位长度．
（1）求动点Q的轨迹方程E；
【解析】解：（1）当F不在定直线上时，根据抛物线的定义，知动点Q的轨迹是以F为焦点，以x??1为准线的抛物线，
所以动点Q的轨迹方程E为：y2?4x．
当F在定直线上时，动点Q的轨迹方程E:y?0(x?0)， 综上所述动点Q的轨迹方程E为：y?0(x?0)或y2?4x
2．（2019秋?新疆期末）已知动点P与平面上点A(?1,0)，B(1,0)的距离之和等于22． （1）试求动点P的轨迹方程C．
【解析】解：（1）由|AB|?2?|PA|?|PB|?22，
根据椭圆的第一定义，可得P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆， 且2a?22，即a?2，c?1，
x2b?a?c?1，则动点P的轨迹方程C为?y2?1；
2223．（2019春?湖南期末）已知动点G(x,y)满足(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?4． （1）求动点G的轨迹C的方程；
【解析】解：（1）由动点G(x,y)满足(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?4，
x2y2可知，动点G的轨迹是以(?1,0)和(1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为??1．
43x2y2F2为焦点的双曲线?4．（2018秋?如东县校级期中）已知P是以F1，求△F1F2P?1上的动点，
169的重心G的轨迹方程．
【解析】解：设重心G(x,y)，点P(m,n)，因为F1(?5,0)，F2(5,0)，
?5?5?m?x???3则有?，
0?0?n?y??3??m?3x故?，
n?3y?x2y29x2代入双曲线??1得?y2?1．
16916又P与F1F2不共线，所以y?0，
9x2故所求轨迹方程为：?y2?1(y?0)．
165．（2016秋?兴庆区校级期末）点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x?求M的轨迹．
【解析】解：设d是点M到直线l:x?（4分）
254的距离的比是常数，4525|MF|4的距离，根据题意得，点M的轨迹就是集合P?{M|?}，4d5(x?4)2?y24x2y222由此得（9分） ?．将上式两边平方，并化简，得9x?25y?225．即??1．
255259|?x|4所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．（12分）
6．（2013秋?金台区校级期末）已知?ABC的周长等于18，B、C两点坐标分别为(0,4)，(0,?4)，求A点的轨迹方程．
【解析】解：由已知|AB|?|AC|?|BC|?18，|BC|?8，得|AB|?|AC|?10?8?|BC|， 由定义可知A点的轨迹是一个椭圆，且2c?8，2a?10， 即c?4，a?5， ?b2?a2?c2?9
当A在直线BC上，即x?0时，A，B，C三点不能构成三角形．
x2y2因此，A点的轨迹方程为??1(x?0)．
9257．已知一动点M到一定点F(2,0)的距离比它到定直线l:x??1的距离多1． （1）求动点M的轨迹方程．
【解析】解：（1）动点M(x、y)到点F(2,0)的距离比到直线x??1的距离多1， ?点M(x、y)到点F(2,0)的距离和到直线x??2的距离相等，
点M的轨迹是以点F为焦点，直线x??2为准线的抛物线．
?
p?2， 2?p?4，故抛物线方程为y2?8x，
8．已知两定点A，B的坐标分别为(?6，0)(6，0)，一动点M与两点A，B的连线的斜率之积是（1）求动点M的轨迹方程；
（2）一直线与动点M的轨迹相交于两点C，D，弦CD的中点为(9,16)，求直线方程． 【解析】解：（1）设动点M(x,y)，由kMA?由kMAkMB16． 9yy，(x?6)，kMB?，(x??6)， x?6x?6yy16x2y2???，x??6，整理得：??1，(x??6)， x?6x?693664x2y2??1，(x??6)； ?动点M的轨迹方程
3664（2）设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由x1?x1?18，y1?y2?32
?x12y12??1?y1?y216x1?x2?3664??则?2，两式相减整理得：， 2x?x9y?y1212?x2?y2?1??3664y?y2169???1，则直线CD的方程y?16?x?9，即y?x?7?0， ?直线CD的斜率k?1x1?x2916?直线CD的方程y?x?7?0．
9．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(?25，0)，且过点D(6,0)． （1）求该椭圆的标准方程；
（2）已知点A(4,2)，且P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程． 【解析】解：（1）在平面直角坐标系中的一个椭圆， 它的中心在原点，左焦点为F(?25，0)，且过点D(6,0)． ?椭圆的半长轴a?6，半焦距c?25，则半短轴b?4．
椭圆的焦点在x轴上，
x2y2?椭圆的标准方程为：??1．
3616?x?6cos?x2y2（2）椭圆?，?为参数． ?1的参数方程是：?y?4sin?3616??P(6cos?,4sin?)，
设线段PA的中点为M(x,y)，
第33讲 轨迹方程(解析版)
