旗开得胜 第8节 函数与方程
最新考纲 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
知 识 梳 理
1.函数的零点 (1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点. (3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac 二次函数 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 1
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旗开得胜 与x轴的交点 零点个数 [微点提醒] (x1，0)，(x2，0) 2 (x1，0) 1 无交点 0 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出
f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)?D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( ) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( ) 解析 (1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错.
(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错. 答案 (1)× (2)× (3))√
2.(必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 1
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旗开得胜 f(x) －4 －2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( ) A.(1，2)
B.(2，3)
C.(3，4)
D.(4，5)
解析 由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点. 答案 B
3.(必修1P112T1改编)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是( ) A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点 B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点 C.函数f(x)在区间[2，16)上无零点 D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点
解析 由题意可确定f(x)唯一的零点在区间(0，2)内，故在区间[2，16)内无零点. 答案 C
4.(2024·济南月考)若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( ) A.(－∞，1) C.(－∞，1]
B.(1，＋∞) D.[1，＋∞)
解析 因为函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，所以方程x2＋2x＋a＝0无实根，即
Δ＝4－4a<0，由此可得a>1. 答案 B
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【2024模块复习】第二章 第8节 函数与方程+参考答案
