2019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷I)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B
2．(2019课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )．
2
44A．－4 B．5 C．4 D．5
?3．(2019课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样法中，最合理的抽样法是( )．
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样
5x2y24．(2019课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：2?2=1(a＞0，b＞0)的离心率为，2ab则C的渐近线程为( )．
111?x?x?xA．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝±x
5．(2019课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
6．(2019课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．
500π866πA．3cm3 B．3cm3 1372π2048πC．3cm3 D．3cm3
7．(2019课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
8．(2019课标全国Ⅰ，理8)某几体的三视图如图所示，则该几体的体积为( )．
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
2m9．(2019课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)展开式的二项式系数的最大值为a，(x2m＋1
＋y)展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )．
A．5 B．6 C．7 D．8
x2y210．(2019课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：2?2=1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点Fab的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的程为( )．
x2y2x2y2x2y2x2y2?=1?=1?=1?=1271845363627189A． B． C． D．
??x2?2x，x?0，11．(2019课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax，则a的取值围
?ln(x?1)，x?0.是( )．
A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 12．(2019课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝
cn?anb?an，＋1＝n，则( )． 22A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2019课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.
21Sn?an?33，则{an}的通项公式14．(2019课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和
是an＝_______.
15．(2019课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.
16．(2019课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2019课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC一点，∠BPC＝90°. (1)若PB＝
1，求PA； 2(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
18．(2019课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
19．(2019课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为
1，且各件产品是2否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
222
20．(2019课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)＋y＝1，圆N：(x－1)2
＋y＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N切，圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
2
21．(2019课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2. (1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值围．
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的框涂黑． 22．(2019课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D. (1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
23．(2019课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数程 已知曲线C1的参数程为??x?4?5cost,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极
?y?5?5sint轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标程为ρ＝2sin θ. (1)把C1的参数程化为极坐标程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 24．(2019课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)设a＞－1，且当x∈???a1?,?时，f(x)≤g(x)，求a的取值围． 22??2019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．
答案：B
解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2. ∴集合A与B可用图象表示为：
由图象可以看出A∪B＝R，故选B. 2． 答案：D
解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
55(3?4i)34???i. 3?4i(3?4i)(3?4i)554故z的虚部为，选D.
5∴z?3．
答案：C
解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 4．
答案：C
c5c2a2?b252解析：∵e??，∴e?2??.
a2aa24b122
∴a＝4b，=?.
a2b1∴渐近线程为y??x?x.
a2
5．
答案：A
解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．
2
若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t，其对称轴为t＝2.
故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]． 综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A. 6．
答案：A
解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．
BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，
222
由R＝(R－2)＋4，得R＝5， 所以球的体积为7．
43500π5?π(cm3)，故选A. 33
历年高考数学真题(全国卷)
