历年高考数学真题(全国卷)
2020年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019大纲全国，理1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )．
A．3 B．4 C．5 D．6 2．(2019大纲全国，理2)(1+3i)＝( )．
A．－8 B．8 C．－8i D．8i 3．(2019大纲全国，理3)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 4．(2019大纲全国，理4)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )．
31???1??1,????,1?2? C．(－1,0) D．?2? A．(－1,1) B．?5．(2019大纲全国，理5)函数f(x)＝log2?1???1?－1
?(x＞0)的反函数f(x)＝( )． x?11xx
A．2?1(x＞0) B．2?1(x≠0) C．2x－1(x∈R) D．2x－1(x＞0)
6．(2019大纲全国，理6)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝?( )．
4，则{an}的前10项和等于31A．－6(1－3－10) B．9(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
7．(2019大纲全国，理7)(1＋x)(1＋y)的展开式中xy的系数是( )．
A．56 B．84 C．112 D．168
8
4
22
x2y?=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且8．(2019大纲全国，理8)椭圆C：43直线PA2斜率的取值围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值围是( )．
2?13??33??1??3?,,,1,1????????A．?24? B．?84? C．?2? D．?4?
9．(2019大纲全国，理9)若函数f(x)＝x＋ax＋
2
1?1?在?,???是增函数，则a的取值围是x?2?( )．
A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞)
10．(2019大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )．
2321A．3 B．3 C．3 D．3
11．(2019大纲全国，理11)已知抛物线C：y＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k2
uuuruuur的直线与C交于A，B两点．若MA?MB?0，则k＝( )．
21A．2 B．2 C．2 D．2
12．(2019大纲全国，理12)已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是( )．
x=A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线
π2对称
3C．f(x)的最大值为2 D．f(x)既是奇函数，又是期函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2019大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝?1，则cot α＝__________. 314．(2019大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)
?x?0,?15．(2019大纲全国，理15)记不等式组?x?3y?4,所表示的平面区域为D.若直线y＝
?3x?y?4?a(x＋1)与D有公共点，则a的取值围是__________．
16．(2019大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝
等于__________．
3，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2019大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
18．(2019大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (1)求B； (2)若sin Asin C＝23?1，求C 419．(2019大纲全国，理19)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．
(1)证明：PB⊥CD；
(2)求二面角A－PD－C的大小． 20．(2019大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一在下一局当裁判．设各局中双获胜的概率均为
1，各局比赛的结果相互独2立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
x2y221．(2019大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2?2=1(a＞0，b＞0)的
ab左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6. (1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
x?1??x?22．(2019大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1+x)?.
1?x(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；
1111(2)设数列{an}的通项an=1+??L?，证明：a2n－an＋＞ln 2.
23n4n2019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．
答案：B
解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素．故选B. 2．
答案：A
解析：(1+3i)=13?3i+3(3i)+(3i)=?8.故选A. 3．
答案：B
2222
解析：由(m＋n)⊥(m－n)?|m|－|n|＝0?(λ＋1)＋1－[(λ＋2)＋4]＝0?λ＝－3.故选B. 4． 答案：B
解析：由题意知－1＜2x＋1＜0，则－1＜x＜?5．
答案：A
解析：由题意知1+因此f(x)＝6．
答案：C
解析：∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝?an.∴数列{an}是以?∴a1＝4.
－1
3231.故选B. 211y＝2?x＝y(y＞0)，
2?1x1
(x＞0)．故选A. 2x?1
1314为公比的等比数列．∵a2＝?，33??1?10?4?1??????3?????＝3(1－3－10)．故选C. ∴S10＝
11?37．
答案：D
2解析：因为(1＋x)的展开式中x的系数为C8，(1＋y)的展开式中y的系数为C24，所以xy8
2
4
2
22
22的系数为C8C4?168.故选D.
8． 答案：B
x02y02?=1， 解析：设P点坐标为(x0，y0)，则43kPA2?y0y0，kPA1?，于是kPA1?kPA2x0?2x0?232x0y034?2???. 22x0?2x0?4423?故kPA＝－131. 4kPA2∵kPA2∈[－2，－1]， ∴kPA1??,?.故选B.
849．
答案：D
?33???11?1??1?,??,??≥0在上恒成立，即在a??2x????上222x2x????111?1?恒成立．∵函数y?2?2x在?,???上为减函数，∴ymax
选D. 10． 答案：A
解析：如下图，连结AC交BD于点O，连结C1O，过C作CH⊥C1O于点H.
?BD?平面ACC1A1??∵BD?AA1??CH?平面ACCA11?ACIAA1?A??CH?BD??CH?C1O?CH⊥平面C1BD， BDIC1O=O??∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角． 设AA1＝2AB＝2，则OC=BD?AC
AC2=，222?2?932C1O=OC2?CC12???2==2. ?2??22??由等面积法，得C1O·CH＝OC·CC1，即∴CH=322?CH＝?2， 222. 32HC32∴sin∠HDC＝==.故选A.
DC1311． 答案：D
2
解析：由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的程为y＝k(x－2)，将其代入y＝
2222
8x，得kx－4(k＋2)x＋4k＝0.
4?k2?2?设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4.①
k2
历年高考数学真题(全国卷)
