2019年中考数学100份试卷分类汇编：三角形相似

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数学试卷

2019中考全国100份试卷分类汇编

相似三角形

1、（2019?昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：

①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE+PF=PO；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）

A．5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质分析：依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．解答：解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠DAC=45°． ∵在△APE和△AME中，， ∴△APE≌△AME，故①正确； ∴PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP． ∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD， ∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE ∴四边形PEOF是矩形． ∴PF=OE， ∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC， ∴PM+PN=AC，故②正确； ∵四边形PEOF是矩形， ∴PE=OF，数学试卷

在直角△OPF中，OF+PF=PO， 222∴PE+PF=PO，故③正确． ∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误； ∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形． ∴PM=PN，又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形， ∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确．故选B．点评：本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键． 2、（2019?新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）

222 2 A．B． 2.5或3.5 C． 3.5或4.5 D． 2或3.5或4.5 考点：相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：动点型．分析：由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DBE=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm， ∴AB=2BC=4（cm）， ∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发， ∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），若∠DBE=90°，当A→B时，∵∠ABC=60°， ∴∠BDE=30°， ∴BE=BD=（cm）， ∴t=3.5，当B→A时，t=4+0.5=4.5．若∠EDB=90°时，当A→B时，∵∠ABC=60°， ∴∠BED=30°， ∴BE=2BD=2（cm）， ∴t=4﹣2=2，当B→A时，t=4+2=6（舍去）．数学试卷

综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选D．点评：此题考查了含30°角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 3、（2019?新疆）如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（）

考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，然后根据对应边成比例求得BC的长度．解答：解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，则=， ∵DE=1，AD=2，DB=3， ∴AB=AD+DB=5， ∴BC==5． 2故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，难度一般，解答本题的关键是根据平行证明△ADE∽△ABC． 4、（2019?内江）如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）

A．2：5 C． 3：5 D． 3：2 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：EC的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， B． 2：3 数学试卷

∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE， ∴△DEF∽△BAF， ∵S△DEF：S△ABF=4：25， ∴DE：AB=2：5， ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 5、（2019?自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）

11 A． 10 B． 9 C． 8 D．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAF=∠DAF， ∵AB∥DF，AD∥BC， ∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=6，AD=DF=9， ∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形， ∵AD∥BC， ∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE， ∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4， ∴AG==2， ∴AE=2AG=4， ∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2， ∴△CEF的周长为8．故选D．数学试卷

点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大． 6、（2019?雅安）如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵AE：BE=4：3， ∴BE：AB=3：7， ∴BE：CD=3：7． ∵AB∥CD， ∴△BEF∽△DCF， ∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7， ∴DF=．．故答案为：点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解． 7、（2019?雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（）

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A．1：3 C． 1：4 D． 2：5 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，则S△ADE：S四边形BCED=1：3，进而得出S△CEF：S四边形BCED=1：3．解答：解：∵DE为△ABC的中位线， ∴AE=CE．在△ADE与△CFE中，， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴S△ADE=S△CFE． ∵DE为△ABC的中位线， ∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2， ∴S△ADE：S△ABC=1：4， ∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC， ∴S△ADE：S四边形BCED=1：3， ∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．故选A．点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比． 8、（2019聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）

B． 2：3

A．a

B．

C．

D．

考点：相似三角形的判定与性质．

分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．

数学试卷

解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C， ∴△ACD∽△BCA， ∵AB=4，AD=2，

∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4， ∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3， ∵△ABD的面积为a， ∴△ACD的面积为a，故选C．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型． 9、（2019菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）

A．16 B．17 C．18 D．19

考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：计算题．

分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，

根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD， ∴AC=2CD，CD==2，

222

∴EC=2+2，即EC=；

∴S2的面积为EC==8； ∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9， ∴S1+S2=8+9=17．故选B．

CD，可得AC=2CD，CD=2，

点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力． 10、（2019?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）

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A． B． C． D．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A， ∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE， ∴=，=，=，解得：CD=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错． 11、（2019?宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）

A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质．分析：根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．数学试卷

解答：解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2． A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意； B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意； C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意； D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；故选B．点评：本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键． 12、（2019?咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）

A．考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a， ∴阴影部分的面积为（）+（a）=22 B． 12 C． D． a， 2∴小鸟在花圃上的概率为= 故选C．点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积． 13、（2019?恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）

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A．1：4 B． 1：3 C． 2：3 D． 1：2 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE， ∴=， ∵O为对角线的交点， ∴DO=BO，又∵E为OD的中点， ∴DE=DB，则DE：EB=1：3， ∴DF：AB=1：3， ∵DC=AB， ∴DF：DC=1：3， ∴DF：FC=1：2．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．

14、（9-2图形的相似·2019东营中考）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（） A. 只有1个

B. 可以有2个

C. 可以有3个

D. 有无数个

10.B.解析：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x的值为7，故x的值可以为5或7.两种情况。

数学试卷

15、（2019?鄂州）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）

A． B． C． D．考点：相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．分析：首先证明△ABD∽△ACD，然后根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值．解答：解：在Rt△ABC中， ∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB=∠CDA， ∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+DAC=90°， ∴∠B=∠DAC， ∴△ABD∽△ACD， ∴=， ∵BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x， ∴AD==x，则tanB===．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应变成比例求边长． 16、（2019?绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）

4 5 6 7 A．B． C． D．考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．分析：根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，数学试卷

利用对应边成比例，可求出x的值．解答：解：设AE=x，则AC=x+4， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD， ∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理）， ∴∠CAD=∠CDB， ∴△ACD∽△DCE， ∴=，即=，解得：x=5．故选B．点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE． 17、（2019?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②三角形；④当∠ABC=45°时，BN=

；③△PMN为等边

PC．其中正确的个数是（）

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN=PB=PC，判断④正确．解答：解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点， ∴PM=BC，PN=BC， ∴PM=PN，正确； ②在△ABM与△ACN中， ∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，数学试卷

∴△ABM∽△ACN， ∴，正确； ③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N， ∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°， ∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB， ∴PM=PN=PB=PC， ∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM， ∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°， ∴∠MPN=60°， ∴△PMN是等边三角形，正确； ④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N， ∴∠BNC=90°，∠BCN=45°， ∴BN=CN， ∵P为BC边的中点， ∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形 ∴BN=PB=PC，正确．故选D．点评：本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键． 18、（2019哈尔滨）如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为( )． (A)

1112 (B) (C) (D) 2343数学试卷

考点：相似三角形的性质。，三角形的中位线

分析：利用相似三角形的判定和性质是解题的关键解答：由MN是三角形的中位线，2MN=BC, MN∥BC

∴△ABC∽△AMN∴三角形的相似比是2：1，∴△ABC与△AMN的面积之比为4：1．，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为

1, 3故选B

19、（2019年河北）如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，

NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN = A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 解析：由△AFN∽△AEM，得：

ANNFAN2，即??，

AMMEAN?23解得：AN＝4，选B。

20、（2019?白银）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 5 米．

考点：相似三角形的应用．分析：易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．解答：解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知=，即=，数学试卷

解得AM=5m．则小明的影长为5米．点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长． 21、（2019?牡丹江）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ∠ACD=∠ABC（答案不唯一），使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）

考点：相似三角形的判定．专题：开放型．分析：相似三角形的判定有三种方法： ①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； ②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； ③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．由此可得出可添加的条件．解答：解：由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．故答案可为：∠ACD=∠ABC．点评：本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一． 22、（2019?巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米．

考点：相似三角形的应用．分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，数学试卷

∴△ADE∽△ACB，即则=， =， ∴h=1.5m．故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 23、（2019?黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则

的值是．

考点：相似三角形的判定与性质．分析：由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：即可求得答案．解答：解：∵∠BAC=∠ACD=90°， ∴AB∥CD， ∴△ABE∽△DCE， ∴，，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，∵在Rt△ACB中∠B=45°， ∴AB=AC， ∵在RtACD中，∠D=30°， ∴CD=∴===．． AC，故答案为：点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．数学试卷

24、（2019台湾、33）如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（）

A．甲＞乙，乙＞丙 B．甲＞乙，乙＜丙考点：相似三角形的判定与性质．

C．甲＜乙，乙＞丙

D．甲＜乙，乙＜丙

分析：首先过点B作BH⊥GF于点H，则S乙=AB?AC，易证得△ABC∽△DBE，△GBH∽△BCA，可求得GF，DB，DE，DF的长，继而求得答案．解答：解：如图：过点B作BH⊥GF于点H，则S乙=AB?AC， ∵AC∥DE，

∴△ABC∽△DBE， ∴

，

∵BC=7，CE=3， ∴DE=

AC，DB=

AB，

∴AD=BD﹣BA=AB， ∴S丙=（AC+DE）?AD=

AB?AC，

∵A∥GF，BH⊥GF，AC⊥AB， ∴BH∥AC，

∴四边形BDFH是矩形， ∴BH=DF，FH=BD=∴△GBH∽△BCA， ∴

，

AB，

∵GB=2，BC=7， ∴GH=AB，BHAC， ∴DF=AC，GF=GH+FH=∴S甲=（BD+GF）?DF=∴甲＜乙，乙＜丙．

AB， AB?AC，

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故选D．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及直角三角形的性质．此题

难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

25、（13年北京4分5）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近

岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于

A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 答案：B

解析：由△EAB∽△EDC，得：

CECD1020，即，解得：AB＝40 ??BEAB20AB

26、（2019?牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 2.4cm或考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．专题：分类讨论．分析：设平行四边形的短边为xcm，分两种情况进行讨论，①若BE是平行四边形的一个短边，②若BD是平行四边形的一个短边，利用三角形相似的性质求出x的值．解答：解：如图AB=AC=8cm，BC=6cm，设平行四边形的短边为xcm， ①若BE是平行四边形的一个短边，则EF∥BC， cm ．

=，解得x=2.4厘米， ②若BD是平行四边形的一个短边，则EF∥AB，数学试卷

=解得x=， cm， cm．综上所述短边为2.4cm或点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是正确的画出图形，结合图形很容易解答． 27、（2019?眉山）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且的面积为2，则四边形EBCF的面积为 16 ．

，若△AEF

考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据题意可判定△AEF∽△ABC，利用面积比等于相似比平方可得出△ABC的面积，继而根据S四边形EBCF=S△ABC﹣S△AEF，即可得出答案．解答：解：∵， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴=（）=（）=， 22∴S△ABC=18，则S四边形EBCF=S△ABC﹣S△AEF=18﹣2=16．故答案为：16．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明△AEF∽△ABC，要求同学们熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比平方． 28、（2019?六盘水）如图，添加一个条件： ∠ADE=∠ACB（答案不唯一），使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）

数学试卷

考点：相似三角形的判定．专题：开放型．分析：相似三角形的判定有三种方法： ①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； ②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； ③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．由此可得出可添加的条件．解答：解：由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．故答案可为：∠ADE=∠ACB．点评：本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一． 29、（2019?苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为（2，4﹣2）．

考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．分析：根据正方形的对角线等于边长的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP，即可得到点P的坐标．解答：解：∵四边形OABC是边长为2的正方形， ∴OA=OC=2，OB=2， ∵QO=OC， ∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2， ∵正方形OABC的边AB∥OC， ∴△BPQ∽△OCQ， ∴=，数学试卷

即=，解得BP=2﹣2， ∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2， ∴点P的坐标为（2，4﹣2）．故答案为：（2，4﹣2）．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键． 30、（2019?眉山）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：

①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE+DC=DE，其中正确的有（）个．

1 2 3 4 A．B． C． D．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定②错误；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF222中，运用勾股定理得出BE+BF=EF，等量代换后判定④正确．解答：解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°， ∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，， ∴△AED≌△AEF（SAS），①正确； ②∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABE=∠C=45°． ∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，数学试卷

∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等， ∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD， ∴∠BAE与∠CAD不一定相等， ∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误； ③∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，， ∴△ACD≌△ABF（SAS）， ∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF， ∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF， ∴BE+DC＞DE，③正确； ④由③知△ACD≌△ABF， ∴∠C=∠ABF=45°， ∵∠ABE=45°， ∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°． 222在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE+BF=EF， ∵BF=DC，EF=DE， ∴BE+DC=DE，④正确．所以正确的结论有①③④．故选C． 222 点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度． 31、（2019?天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为 7 ．

数学试卷

考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．解答：解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC； ∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6； ∴∠BAD+∠ADB=120° ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE，则即==，，解得：CE=2，故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．故答案为：7．点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键． 32、（2019安顺）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE= ．

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．解答：解：∵DE：EC=1：2

∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3 ∵AB∥CD，

∴△ABF∽△CEF，

∴BF：EF=AB：EC=3：2． ∴BF：BE=3：5．

数学试卷

点评：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．

33、（2019?钦州）如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积的比是 1：4 ．

考点：分析：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．由中位线可知DE∥BC，且DE=BC；可得△ADE∽△ABC，相似比为1：2；根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即得结果．解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，且DE=BC， ∴△ADE∽△ABC，相似比为1：2， ∵相似三角形的面积比是相似比的平方， ∴△ADE与△ABC的面积的比为1：4（或）．解答：点评：本题要熟悉中位线的性质及相似三角形的判定及性质，牢记相似三角形的面积比是相似比的平方．

34、（13年安徽省4分、13）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为S、S1、S2。若S=2，则S1+S2=

35、（2019?宁夏）△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：4；其中正确的有 ①②③ ．（只填序号）考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：根据题意做出图形，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE=BC=2，则可证得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得△ADE的数学试卷

面积与△ABC的面积之比为 1：4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，选出正确的结论即可．解答：解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DE=BC=2， ∴△ADE∽△ABC，故①②正确； ∵△ADE∽△ABC，=， ∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4， △ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，故③正确，④错误．故答案为：①②③．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

36、（2019年潍坊市）如图，直角三角形ABC中，?ACB?90?，AB?10， BC?6，在线段AB上取一点D，作DF?AB交AC于点F.现将?ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；

AD的中点E的对应点记为E1.若?E1FA1∽?E1BF，则

AD=__________.

答案：3.2

解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC= AB2-BC2 = 102-62 =8，设AD=2x，

∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1， ∴AE=DE=DE1=A1E1=x，

∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC =DF：BC ，即2x：8 =DF：6 ，解得DF=1.5x，

在Rt△DE1F中，E1F2= DF2+DE12 = 3.25 x 2 ，

又∵BE1=AB-AE1=10-3x，△E1FA1∽△E1BF，∴E1F:A1E1 =BE1 :E1F ，∴E1F2=A1E1?BE1，即3.25x2=x（10-3x），解得x=1.6 ，∴AD的长为2×1.6 =3.2．

考点：本题是一道综合性难题，主要考查轴对称变换，折叠，勾股定理，相似三角形的对应边成比例.

点评：利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根据

数学试卷

相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值． 37、（2019?益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．

考点：相似三角形的判定．专题：证明题．分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．解答：证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∵CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBE．点评：本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键．

38、（2019年佛山市）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．

若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．

A B

第17题图

分析：利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF．解：证明：∵AC=ED=8， ∴

=2，

，BC=

，AB=4，DF=

，EF=

，

∴△ABC∽△DEF．

点评：本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：

数学试卷

（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

?A??C?90，39、（2019成都市）如图，点Ｂ在线段AC上，点D,E在AC同侧，BD?BE，

AD=BC.

（1）求证：AC=AD+CE;

（2）若AD=3,CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ?DP，交直线BE于点Q.

i)若点P与A,B两点不重合，求

DP的值； PQii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长。（直接写出结果，不必写出解答）。

解析：

（1）证明：∠A=∠C=90°DB⊥BE

有∠ADB+∠ABD=90°以及∠ABD+∠EBC=90° ∴∠ADB=∠EBC 又AD=BC ∴Rt△ADB≌Rt△EBC ?AB=EC ∴AC=AB+BC=EC+AD （2）

ⅰ）连结DQ, ∠DPQ=∠DBQ=90°, ∴D,PB,Q四点共圆. 且DQ为该圆直径，那么就有∠DQP=∠DBP ∴Rt△DPQ∽Rt△DAB

DPDA3?? PQAB5

ⅱ)P到AC中点时，AP=4，AD=3，由勾股定理得DP=5 由

534DP325??PQ?.DQ? 又DB?34 3PQ53数学试卷

BQ?4341234 ∴MM??BQ? MM?即为中点运动轨迹。 323

40、（2019?巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．解答：（1）证明：∵?ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC． ∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B， ∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中， ∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵?ABCD，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC， ∴，∴DE===12． ==6．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错． 41、（2019?徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似． ①当AC=BC=2时，AD的长为；

②当AC=3，BC=4时，AD的长为 1.8或2.5 ；

（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

数学试卷

考点：相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．分析：（1）若△CEF与△ABC相似． ①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形； ②当AC=3，BC=4时，分两种情况：（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似．解答：解：（1）若△CEF与△ABC相似． ①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示．此时D为AB边中点，AD=AC=． ②当AC=3，BC=4时，有两种情况：（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示． ∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC．由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5，∴cosA=． AD=AC?cosA=3×=1.8；（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．数学试卷

∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B．由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，又∵∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD， ∴此时AD=AB=×5=2.5．综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5．（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下：如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q． ∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B．由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°， ∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA．点评：本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质．第（1）②问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意． 42、（2019?滨州）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．

考点：相似三角形的应用；等腰梯形的性质．分析：根据等腰梯形的性质，可得AH=DG，EM=NF，先求出AH、GD的长度，再由△BEM∽△BAH，可得出EM，继而得出EF的长度．解答：解：由题意得，MH=8cm，BH=40cm，则BM=32cm， ∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm， ∴AH=（AD﹣BC）=15cm． ∵EF∥CD， ∵△BEM∽△BAH， ∴=，即=，数学试卷

解得：EM=12，故EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm．答：横梁EF应为44cm．点评：本题考查了相似三角形的应用及等腰梯形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质，这些是需要我们熟练记忆的内容． 43、（2019?眉山）在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．

（1）求证：△DEC∽△FDC；

（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．

考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．分析：（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．解答：解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD， ∴△DEC∽△FDC．（2）∵F为AD的中点，AD∥BC， ∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC， ∴FE：FC=1：3， ∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；设EF=x，则FC=3x， ∵△DEC∽△FDC， ∴=，即可得：6x=12， 2解得：x=，则CF=3，在Rt△CFD中，DF==，数学试卷

∴BC=2DF=2．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例． 44、（2019?株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．解答：（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°， ∴∠APQ=∠C．在△APQ与△ABC中， ∵∠APQ=∠C，∠A=∠A， ∴△APQ∽△ABC．（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5． ∵∠BPQ为钝角， ∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ．（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由（1）可知，△APQ∽△ABC， ∴，即，解得：PB=， ∴AP=AB﹣PB=3﹣=；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示． ∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P， ∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，数学试卷

∴∠AQB=∠A， ∴BQ=AB， ∴AB=BP，点B为线段AB中点， ∴AP=2AB=2×3=6．综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．点评：本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 45、（2019福省福州21）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y （1）求y与x的函数关系式；

（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB?PC的值；（3）若∠APD=90°，求y的最小值．

考点：相似形综合题．专题：综合题．分析：（1）如图1，过A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由∠B=45°，AB=x，利用锐角三角函数定义表示出AE，三角形PAD的面积以AD为底，AE为高，利用三角形面积公式表示出，根据已知的面积即可列出y与x的函数关系式；

（2）根据∠APC=∠APD+∠CPD，以及∠APC为三角形ABP的外角，利用外角性质得到关系式，等量代换得到∠BAP=∠CPD，再由四边形ABCD为等腰梯形，得到一对底角相等及AB=CD，可得出三角形ABP与三角形PDC相似，由相似得比例，将CD换为AB，由y的值求出x的值，即为AB的值，即可求出PB?PC的值；

（3）取AD的中点F，过P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，当PF=PH时，PF最小，此时F与H重合，由三角形APD为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即为PH，三角形APD面积以AD为底，PH为高，利用三角形面积公式表示出三角形APD面积，由已知的面积求出y的值，即为最小值．解答：解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x， ∴AE=AB?sinB=∵S△APD=

x，

11AD?AE=， 2211∴?y?x=， 22则y=

；

（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，

数学试卷

∴∠BAP=∠CPD，

∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴∠B=∠C，AB=CD， ∴△ABP∽△PCD， ∴

，

∴PB?PC=AB?DC=AB，

当y=1时，x=，即AB=，

则PB?PC=（）=2；

（3）如图2，取AD的中点F，连接PF，过P作PH⊥AD，可得PF≥PH，当PF=PH时，PF有最小值， ∵∠APD=90°， ∴PF=AD=y， ∴PH=y，

11?AD?PH=， 221112

∴?y?y=，即y=2， 222∵S△APD=

∵y＞0，∴y=，则y的最小值为．

点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 46、（2019?苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；

（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y． ①求y与x的函数关系式； ②当x=6时，求线段FG的长．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．数学试卷

分析：（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出即可得出答案； ②根据①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出解答：（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点， ∴∠DAP=∠PAB，AD=AB， ∵在△APB和△APD中， ∴△APB≌△APD（SAS）；（2）解：①∵△APB≌△APD， ∴DP=PB，∠ADP=∠ABP， ∵在△DFP和△BEP中，， ∴△DFP≌△BEP（ASA）， ∴PF=PE，DF=BE， ∵GD∥AB， ∴=， ==，求出即可． =，=，进而得出=，即=，∵DF：FA=1：2， ∴∴∵=，=， =，即=， =， ∴y=x； ②当x=6时，y=×6=4， ∴PF=PE=4，DP=PB=6， ∵∴==， =，解得：FG=5，数学试卷

故线段FG的长为5．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据平行关系得出=，=是解题关键． 47、（2019?衢州）【提出问题】

（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】

（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】

（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论；（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到=，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．解答：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中，数学试卷

∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN．（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN．（3）解：∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ∴=，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC=∠ACN．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论． 48、（2019?绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．数学试卷

分析：（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．解答：（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D， ∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB． ∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC， ∵点E为AB的中点，∴AB=2BE， ∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，， ∴△ACD≌△BEF， ∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q， ∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC， ∴四边形EQDH是矩形， ∴∠QEH=90°， ∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°， ∴△EFQ∽△EGH， ∴EF：EG=EQ：EH． ∵AC：AB=1：，∠CAB=90°， ∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°， ∴sin∠B==， ∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°， ∴cos∠AEH=∴EH=AE． =， ∵点E为AB的中点，∴BE=AE， ∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．数学试卷

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．

49、(2019年广东省8分、22)如题22图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.

(1)设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 , 则S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空)；

（2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明. 解析：

（1） S1= S2+ S3；

（2）△BCF∽△DBC∽△CDE; 选△BCF∽△CDE

证明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且点C在边EF上,∴∠BCF+∠DCE=90° 在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中，∠CBF+∠BCF=90° ∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.

50、(2019年广东省9分、25压轴题)有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,

∠FDE=90°,DF=4,DE=43.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.

(1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M, 则∠EMC=______度；

(2)如题25图（3），在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;

(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对应的x取值范围.

数学试卷

解析：

（1）15；（2）在Rt△CFA中,AC=6,∠ACF=∠E=30°,∴FC=

3AC=6÷?43 ?cos302(3)如图(4),设过点M作MN⊥AB于点N,则MN∥DE,∠NMB=∠B=45°,∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x

∵MN∥DE ∴△FMN∽FED,∴

MNMN?x3?3MNFN,即，∴MN??x ?2DEFD443ACGE①当0?x?2时,如图(4) ,设DE与BC相交于点G ,则DG=DB=4+x ∴y?S?BGD?SBMF11113D?3??DB?DG??BF?MN?(4?x)2??x?x 22222NFBDAN1?32即y??x?4x?8;

4②当2?x?6?23时,如图(5),

M题25图(4)

CMEy?S?BCA?SBMF?11113?3?AC2??BF?MN??36?x?x 222223?32即y??x?18;

4③当6?23?x?4时, 如图(6) 设AC与EF交于点H， ∵AF=6－x，∠AHF=∠E=30° ∴AH=3AF?DAFB题25图(5)

EHC3(6?x)

Fy?S?FHA13?(6?x)?3(6?x)?(6?x)2 221?32综上所述，当0?x?2时，y??x?4x?8

4当2?x?6?23，y??B3?32x?18 4数学试卷

当6?23?x?4时，y?3(6?x)2 2 51、（2019?遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？

（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

考点：相似形综合题．分析：根据勾股定理求得AB=5cm．（1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S=（t﹣）+2（0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．解答：解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm． ∴根据勾股定理，得=5cm．（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC时，解得t=； ②当△APM∽△ABC时，=，即=， =，即=，解得t=0（不合题意，舍去）；综上所述，当t=时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：数学试卷

假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC， ∴=，即=， ∴PH=t， ∴S=S△ABC﹣S△BPH， =×3×4﹣×（3﹣t）?t， =（t﹣）+∵＞0， ∴S有最小值．当t=时，S最小值=．． 2（0＜t＜2.5）．答：当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边． 52、（2019?泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．（1）求证：△ADP∽△ABQ；

（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；

（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．

数学试卷

考点：相似形综合题．分析：（1）由对应两角相等，证明两个三角形相似；（2）如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，由此构造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y与x的函数关系式，这是一个二次函数，求出其最小值；（3）如解答图所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE＞MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围．解答：（1）证明：∵∠QAP=∠BAD=90°， ∴∠QAB=∠PAD，又∵∠ABQ=∠ADP=90°， ∴△ADP∽△ABQ．（2）解：∵△ADP∽△ABQ， ∴，即，解得QB=2x． ∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD﹣DP=20﹣x．如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N， ∵MN⊥QC，CD⊥QC，点M为PQ中点，∴点N为QC中点，MN为中位线， ∴MN=PC=（20﹣x）=10﹣x， BN=QC﹣BC=（BC+QB）﹣BC=（10+2x）﹣10=x﹣5． 222222在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM=MN+BN=（10﹣x）+（x﹣5）=x﹣20x+125， 2∴y=x﹣20x+125（0≤x≤20）． 22∵y=x﹣20x+125=（x﹣4）+45， ∴当x=4即DP=4时，y取得最小值为45，BM的最小值为=．（3）解：设PQ与AB交于点E．如解答图所示，点M落在矩形ABCD外部，须满足的条件是BE＞MN． ∵△ADP∽△ABQ， ∴，即，解得QB=a． ∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP， ∴，即，解得BE=． ∵MN为中位线，∴MN=PC=（a﹣8）． ∵BE＞MN，∴＞（a﹣8），解得a＞12.5． ∴当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为：a＞12.5．数学试卷

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、二次函数的最值、解一元一次不等式等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．解题关键是：第（2）问2中，由BM=y，容易联想到直角三角形与勾股定理；由最值容易联想到二次函数；第（3）问中需要明确“点M落在矩形ABCD外部”所要满足的条件． 53、（2019?呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）

的值为

；

（2）求证：AE=EP；

（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．分析：（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；（2）在BA边上截取BK=NE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．解答：（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠D， ∵∠AEP=90°， ∴∠BAE=∠FEC，在Rt△ABE中，AE=∵sin∠BAE==sin∠FEC==，，数学试卷

∴=，（2）证明：在BA边上截取BK=NE，连接KE， ∵∠B=90°，BK=BE， ∴∠BKE=45°， ∴∠AKE=135°， ∵CP平分外角， ∴∠DCP=45°， ∴∠ECP=135°， ∴∠AKE=∠ECP， ∵AB=CB，BK=BE， ∴AB﹣BK=BC﹣BE，即：AK=EC，易得∠KAE=∠CEP， ∵在△AKE和△ECP中，， ∴△AKE≌△ECP（ASA）， ∴AE=EP；（3）答：存在．证明：作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EP，连接ME、DP， ∵在△ADM与△BAE中，， ∴△ADM≌△BAE（AAS）， ∴MD=AE， ∵AE=EP， ∴MD=EP， ∴MDEP， ∴四边形DMEP为平行四边形．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等数学试卷

知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择． 54、（2019泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

（1）求证：AC=AB?AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求

的值．

考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似

三角形的对应边成比例，证得AC=AB?AD；

（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；

（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得解答：（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠CAB， ∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴AD：AC=AC：AB，

∴AC=AB?AD；

（2）证明：∵E为AB的中点， ∴CE=AB=AE， ∴∠EAC=∠ECA， ∵∠DAC=∠CAB， ∴∠DAC=∠ECA， ∴CE∥AD；

（3）解：∵CE∥AD， ∴△AFD∽△CFE， ∴AD：CE=AF：CF， ∵CE=AB， ∴CE=×6=3， ∵AD=4，

的值．

数学试卷

∴∴

，．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 55、（2019?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t= 2.5 s时，四边形EBFB′为正方形；

（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

考点：相似形综合题．分析：（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．解答：解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10﹣t=3t，解得t=2.5；（2）分两种情况，讨论如下： ①若△EBF∽△FCG，则有，即，解得：t=2.8； ②若△EBF∽△GCF，则有，即，（不合题意，舍去）或t=﹣14+2．解得：t=﹣14﹣2数学试卷

∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5， 222由勾股定理得：OM+FM=OF， 222即：5+（6﹣3t）=（3t）解得：t=；过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6， 222由勾股定理得：ON+EN=OE， 222即：6+（5﹣t）=（10﹣t）解得：t=3.9． ∵≠3.9， ∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．点评：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在． 56、（2019?包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当

时，求

的值；

OA；

（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=

（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．

数学试卷

考点：相似形综合题．分析：（1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得；（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得．解答：（1）解：∵=， ∴=． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△CEF∽△ADF， ∴∴==， =， ∴==；（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线． ∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF， ∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD=∴AF=OA．（3）证明：连接OE． ∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点． ∴点O是BD的中点．又∵点E是BC的中点， =OA，数学试卷

∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥CD，OE=CD， ∴△OFE∽△CFD． ∴∴==， =．又∵FG⊥BC，CD⊥BC， ∴FG∥CD， ∴△EGF∽△ECD， ∴==．在直角△FGC中，∵∠GCF=45°． ∴CG=GF，又∵CD=BC， ∴∴==， =． ∴CG=BG．点评：本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键．

57、（2019哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒． (1)求线段BC的长；

(2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：

111

(3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BEF,使点E的对应点E落在线段AB上，点F的对应点是F，EF交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= 1

3QG? 3