中考二次函数压轴题———解题通法研究
几个自定义概念:
① 三角形基本模型:有一边在X轴或Y上,或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。
② 动点(或不确定点)坐标“一母示”:借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式,用一个字母把该点坐标表示出来,简称“设横表纵”。如:动点P在y=2x+1上, 就可设 P(t, 2t+1).若动点P在y=3x?2x?1,则可设为P(t,3t22?2t?1)当然
若动点M 在X轴上,则设为(t, 0).若动点M在Y轴上,设为(0,t).
③ 动三角形:至少有一边的长度是不确定的,是运动变化的。或至少有一个顶点是运动,变化的三角形称为动三角形。
④ 动线段:其长度是运动,变化,不确定的线段称为动线段。
⑤ 定三角形:三边的长度固定,或三个顶点固定的三角形称为定三角形。
⑥ 定直线:其函数关系式是确定的,不含参数的直线称为定直线。如:y=3x-6。 ⑦ X标,Y标:为了记忆和阐述某些问题的方便,我们把横坐标称为x标,纵坐标称为y标。
⑧ 直接动点:相关平面图形(如三角形,四边形,梯形等)上的动点称为直接动点,与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的。
1.求证“两线段相等”的问题:
借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来;
然后看两线段的长度是什么距离(即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x轴(y轴)的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等。
2、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题:
由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t),借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来,再由两个端点的高
低情况,运用平行于y轴的线段长度计算公式
y上-y下,把动线段的长度就表示成为一个
自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题: 先用点斜式(或称K点法)求出过已知点,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可。
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4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题:
(方法1)先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率(k)相等),再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y消掉,得到一个关于x的的一元二次方程,由题有△=b-4ac=0(因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以b-4ac=0)从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x、y的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离。
(方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离。
(方法3)先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。
5.常数问题:
(1)点到直线的距离中的常数问题:
“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题:
先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
(2)三角形面积中的常数问题:
“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题:
先求出定线段的长度,再表示出动点(其坐标需用一个字母表示)到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
(3)几条线段的齐次幂的商为常数的问题:
用K点法设出直线方程,求出与抛物线(或其它直线)的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可。
6.“在定直线(常为抛物线的对称轴,或x轴或y轴或其它的定直线)上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题:
先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出(利用求交点坐标的方法)。
7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题:
① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题(简称“一边固定两边动的问题):
由于有两个定点,所以该三角形有一定边(其长度可利用两点间距离公式计算),
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只需另两边的和最小即可。
② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题(简称“三边均动的问题):
在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用
C动斜边动,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解。 =C定斜边定
8.三角形面积的最大值问题:
① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题(简称“一边固定两边动的问题”):
(方法1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度;然后再利用上面3的方法,
求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式
1 底·高。2即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点。
(方法2)过动点向y轴作平行线找到与定线段(或所在直线)的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到
题来求出最大值。
② “三边均动的动三角形面积最大”的问题(简称“三边均动”的问题): 先把动三角形分割成两个基本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上的三角形,或者有一边平行于x轴或y轴的三角形,称为基本模型的三角形)面积之差,设出动点在x轴或y轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似(常为图中最大的那一个三角形)。利用相似三角形的性质(对应边的比等于对应高的比)可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了。
9.“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”: 由于该四边形有三个定点,从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形(连结两个定点,即可得到一个定三角形)的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。
10、“定四边形面积的求解”问题: 有两种常见解决的方案: 方案(一):连接一条对角线,分成两个三角形面积之和; 方案(二):过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点,向x轴(或y轴)作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形(常为直角梯形)和一些三角形的面积之和(或差),或几个基本模型的三角形面积的和(差)
11.“两个三角形相似”的问题: 两个定三角形是否相似:
(1)已知有一个角相等的情形:运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例?若成比例,则相似;否则不相似。
(2)不知道是否有一个角相等的情形:运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例?若成比例,则相似;否则不相似。
1S动三角形?(y上(动)-y下(动))?(x右(定)-x左(定))2,转化为一个开口向下的二次函数问
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一个定三角形和动三角形相似: (1)已知有一个角相等的情形:
先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来(一母示),然后把两个目标三角形(题中要相似的那两个三角形)中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例(要注意是否有两种情况),列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点。
(2)不知道是否有一个角相等的情形:
这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例?若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在。简称“找特角,求(动)点标,再验证”。或称为“一找角,二求标,三验证”。
12.、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题: 首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。(若某边底,则只有一种情况;若某边为腰,有两种情况;若只说该三点构成等腰三角形,则有三种情况)。先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标(一母示),按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程。解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点(就是不能构成三角形这个题意)。
13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题:
这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标),任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线(显然最多有3条),此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可。
进一步有:
① 若是否存在这样的动点构成矩形呢?先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否?若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在。
② 若是否存在这样的动点构成棱形呢?先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否?若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在。
③ 若是否存在这样的动点构成正方形呢?先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等?和两条对角线是否相等?若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在。
14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题:(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形。)
先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积),然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可。(注意去掉不合题意的点),如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可。
15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”
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的问题:
若夹直角的两边与y轴都不平行:先设出动点坐标(一母示),视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于-1),得到一个方程,解之即可。
若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式。补救措施是:过余下的那一个点(没在平行于y轴的那条直线上的点)直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定。
16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。 ① 若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式(如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程),利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否?若等,该交点合题,反之不合题,舍去。
② 若动点为直角顶点:先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1?若为-1,则就说明所求交点合题;反之,舍去。
17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题: 题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。
18.“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形(常为动三角形或动四边形)的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题:
(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形。)
先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上,或者有一边平行于x轴或y轴)面积的和或差,设出相关点的坐标(一母示),按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可。一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点(动点)标,图形转化(分割),列出面积方程”。
19.“在相关函数解析式不确定(系数中还含有某一个参数字母)的情况下,题中又含有动图形(常为动三角形或动四边形)的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题:
此为“双动问题”(即动解析式和动图形相结合的问题)。 如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割(转化或分割后的图形须为基本模型),设出动点坐标(一母示),利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程(或方程组)。解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标(注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉)。再注意图中另一个点与该点的位置关系(或其它关系,方法是常由已知或利用(2)问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可。如果动图形是基本模型,就无须分割(或转化)了,直接先设出动点坐标(一母式),然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同。一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化(分割),设点标,建方程,再代入,得结论”。
常用公式或结论:
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