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十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题04导数与定积分
1.(2019·全国2·T文T10)曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-π-1=0
B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0 【答案】C
【解析】当x=π时,y=2sin π+cos π=-1,即点(π,-1)在曲线y=2sin x+cos x上. ∵y'=2cos x-sin x,
∴y'|x=π=2cos π-sin π=-2.
∴曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.故选C. 2.(2019·全国3·T理T6文T7)已知曲线y=ae+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e,b=1 D.a=e,b=-1 【答案】D
【解析】∵y'=ae+ln x+1, ∴k=y'|x=1=ae+1=2, ∴ae=1,a=e.
将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1, ∴b=-1.
3.(2018·全国1·理T5文T6)设函数f(x)=x+(a-1)x+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 【答案】D
【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x+(a-1)x-ax=-x-(a-1)x-ax,解得a=1,则f(x)=x+x.由f'(x)=3x+1,得曲线y=f(x)在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.
4.(2017·全国2·理T11)若x=-2是函数f(x)=(x+ax-1)e的极值点,则f(x)的极小值为( ) A.-1
B.-2e C.5e
-3
-3
2
x-1
2
3
2
3
2
3
3
2
-1
x
-1
-1
x
D.1
【答案】A
【解析】由题意可得,
f'(x)=(2x+a)e+(x+ax-1)e=[x+(a+2)x+a-1]e.
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1
x-1
2
x-1
2
x-1
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因为x=-2是函数f(x)的极值点, 所以f'(-2)=0.所以a=-1. 所以f(x)=(x-x-1)e. 所以f'(x)=(x+x-2)e. 令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x) 选A.
5.(2017·浙江·T7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 ( )
(-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值 (-2,1) - ↘ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗ 2
x-1
2
x-1
【答案】D
【解析】设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0 在区间(x1,x2)和(x3,+∞)上,f'(x)>0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D. 6.(2016·山东·理T10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( ) A.y=sin xB.y=ln x C.y=e D.y=x 【答案】A 【解析】当y=sin x时,y'=cos x,因为cos 0·cos π=-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=π使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=e,y=x的导数值均非负,不符合题意,故选A. x 3 x 3 7.(2016·全国1·文T12)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( ) A.[-1,1] B. 2 名师精心整理 助您一臂之力 名师精心整理 助您一臂之力 C. D. 【答案】C 【解析】因为f(x)在R上单调递增, 所以f'(x)=-cosx+acos x+≥0在R上恒成立. 由题意可得,当cos x=1时,f'(x)≥0, 当cos x=-1时,f'(x)≥0, 2 即解得-≤a≤. 8.(2016·四川·理T9)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直 相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【答案】A 【解析】设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2)(不妨设x1>1,0 别为k1=,k2=-. 由已知得k1k2=-1,所以x1x2=1.所以x2=. 所以切线l1的方程分别为y-ln x1=(x-x1),切线l2的方程为y+ln x2=-(x-x2), 即y-ln x1=-x1. 分别令x=0得A(0,-1+ln x1),B(0,1+ln x1). 又l1与l2的交点为P∵x1>1, 名师精心整理 助您一臂之力 . 3 名师精心整理 助您一臂之力 ∴S△PAB=|yA-yB|·|xP|=∴0 =1. 9.(2015·全国2·理T12)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 【答案】A 【解析】当x>0时,令F(x)=,则F'(x)=<0, ∴当x>0时,F(x)=为减函数. ∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0. 在区间(0,1)上,F(x)>0; 在(1,+∞)上,F(x)<0,即当0 ∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0. 综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A. 10.(2015·全国1·理T12)设函数f(x)=e(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( ) x A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知函数关系式,先找到满足f(x0)<0的整数x0,由x0的唯一性列不等式组求解. ∵f(0)=-1+a<0,∴x0=0. 又∵x0=0是唯一的使f(x0)<0的整数, 11.(2014·全国1·理T11文T12)已知函数f(x)=ax-3x+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值 名师精心整理 助您一臂之力 4 3 2 名师精心整理 助您一臂之力 范围是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 【答案】C 【解析】当a=0时,显然f(x)有2个零点,不符合题意; 当a>0时,f'(x)=3ax2 -6x=3x(ax-2),易知函数f(x)在(-∞,0)上单调递增. 又f(0)=1,当x→-∞时,f(x)=x2 (ax-3)+1→-∞,故不适合题意;当a<0 时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,只需f>0就满足题意. 由f>0,得+1>0,解得a<-2或a>2(舍去).故a<-2. ∴ 即解得a≥. 又∵a<1, ∴≤a<1,经检验a=,符合题意,故选D. 12.(2014·江西,理8)若f(x)=x2 +2 f(x)dx,则f(x)dx=( ) A.-1 B.- C. D.1 【答案】B 【解析】∵f(x)dx=x2 dx+ dx =x 3 =+2f(x)dx, 名师精心整理 助您一臂之力 5
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题04 导数与定积分 含解析
