1
e
1
【解析】： lim
x
0
ln(1 x)
x
1
x
lim 1 x 0
ln(1 x) x
1
x 1 e
e
lim ln(1
x 0
x) x 1
xex 1
e
lim ln(1
x 0
x2
x) x
e1 1 lim x
2 x x 0
1
x
lim
x
ex 0 2 x(1 x )
e 2
16、（本题满分 9 分）设 z f ( xy, yg ( x)) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数
2
g( x) 可导，且在 x 1
处取得极值 g(1) 1 ，求
z
x y x 1, y 1
【答案 】 f1,1' (1,1) f1,2' (1,1)
【考点分析】 ：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较 大。
【解析 】：
z
x
f1' ( xy, yg( x)) y f 2' (xy, yg( x)) yg' (x)
f1,1'( xy, yg ( x)) xy x y
f2,1' ( xy, yg ( x)) xyg ' ( x) 由于 g(x) 在 x 故
2
z
f1,2' (xy , yg ( x)) yg( x) f1' ( xy, yg (x)) x
f 2' ( xy, yg ( x)) g ' ( x)
f2,2' ( xy, yg ( x)) yg (x) g ' ( x)
1，可知 g ' (1) 0 。
1 处取得极值 g(1)
2
z
1
f1,1' (1,g(1)) f1,2' (1,g(1))g(1) f1 ' (1,g (1))
x y x 1, y
f2,1' (1,g(1))g ' (1) f2,2' (1,g (1))g(1)g' (1) f2' (1,g (1))g ' (1)
f1,1' (1,1) f1,2' (1,1)
17、（本题满分 10 分）求方程 k arctan x 【答案 】 k 1 时，方程 k arctan x
x 0 不同实根的个数，其中
k 为参数
x 0 只有一个实根
k 1 时，方程 k arctanx x 0 有两个实根
【考点分析】 ：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首
先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。
【解析 】：令 f (x) k arctan x x ，则 f (0)
0 ， f ( x)
k 1 x2
1 k 1 x2 ，
1 x2
（1）
当 k 1 时， f ( x) 0 ， f ( x) 在 ( , ) 单调递减， 故此时 f ( x) 的图像与 x 轴与只有一个交点，
也即方程 k arctanx （2）
x
0 只有一个实根
k 1 时，在 (
,0) 和 (0, ) 上都有 f ( x) ,0) 和 (0,
0 ，所以 f ( x) 在 ( ) 与 x 轴均无交点
,0) 和 (0,
) 是严格的单调递
减，又 f (0) 0 ，故 f ( x) 的图像在 (
（3）
k 1 时， k 1 x k 1 时， f ( x) 0，f ( x) 在 ( k 1, k 1) 上单调增加， 又 f (0) 0
知， f (x) 在 ( k 1, k 1) 上只有一个实根，又 f ( x) ( k 1)或(
, k 1) 或 ( k 1) 0, lim f ( x)
x
1, ) 都有 f ( x)
，
0 ，
f ( x) 在 (
,
k 1,
) 都单调减，又 f (
k
f ( k
1) 0, lim f ( x)
x
，所以 f (x) 在 (
,
k 1) 与 x 轴无交点，在 ( k
1, ) 上与 x 轴有一
个交点
综上所述： k
1 时，方程 k arctanx x 0 只有一个实根
k 1 时，方程 k arctanx x
0 有两个实根
n ，都有
18、（本题满分 10 分）证明：（ 1）对任意正整数
1 ln(1 1 ) n 1 n
1
n
（2）设 an
1
1 2
1 n
ln n(n 1,2,
) ，证明数列 { an } 收敛
【考点分析】 ：本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。 化为函数不等式，再利用单调性进行证明； 结论。
（ 1）要证明该不等式，可以将其转
（ 2）证明收敛性时要用到单调有界收敛定理，注意应用（ 1）的
【解析 】：（ 1）令
1
x ，则原不等式可化为
x x 1
ln(1 x) x, x 0 。
n
先证明 ln(1 令 f (x)
x) x, x 0 ：
x ln(1 x) 。 由于 f ' ( x) 1
1 x
1 0, x 0 ， 可知 f (x) 在 0,
上 单调 递增。又 由于
f (0)
再证明
0 ，因此当 x 0 时， f ( x)
0 ：
f (0) 0 。也即 ln(1
x)
x, x
0 。
x
x 1
ln(1
ln(1 x), x
令 g( x)
x) x x 1
。由于 g ' ( x)
1 1 x
1 0, x 0 ，可知 g( x) 在 0, (1 x) 2
上单调递增。由
于 g(0)
0 ，因此当 x 0 时， g( x)
g (0) 0 。也即
x x 1
ln(1 x), x
0 。
x
因此，我们证明了
x
1
1
ln(1 x)
（2） a
a
n 1
ln(1
1
x, x 0。再令由于，即可得到所需证明的不等式。
11
n
n n
) ，由不等式 1
ln(1
) 可知：数列 a 单调递减。
n 1
n
n
又由不等式 ln(1
1 ) 1 可知： n n 1 ln n n
an 1 1 2
因此数列
ln(1 1) ln(1 )
2
1
... ln(1 1 ) ln n ln( n
n
{ an } 收敛。
1) ln n 0 。
an 是有界的。故由单调有界收敛定理可知：数列
19、（本题满分 11
分 ） 已 知 函 数 f ( x, y)具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 f (1,y) 0, f ( x,1) 0 ，
f ( x, y) dxdy
D
a ，其中 D {( x, y) | 0 x
1,0 y
1} ，计算二重积分
I
D
xyfxy ( x, y) dxdy
【答案 】： a
【考点分析】 ：本题考查二重积分的计算。计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式化为已知的积分
式，出题形式较为新颖，有一定的难度。
【解析 】：将二重积分
D
xyf xy ( x, y)dxdy 转化为累次积分可得
1
1
xyfxy ( x, y) dxdy
D
dy
0
xyfxy (x, y) dx
0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
首先考虑
xyfxy ( x, y)dx ，注意这是是把变量 y 看做常数的，故有
1 0
xyfxy ( x, y )dx y
xdf y ( x, y) xyf y ( x, y)
yf y ( x, y) dx yf y (1,y)yf y ( x, y)dx
1
1 0
由 f (1,y) f ( x,1)
故
1 0
0 易知 f y' (1, y)
1 0
fx' (x,1) 0 。
。
xyf xy ( x, y )dx
yf y
1
( x, y)dx
1 0
xyfxy ( x, y) dxdy
D
dy
0
xyfxy (x, y)dx
0
dy yf y (x, y)dx
1 1
1 1
对该积分交换积分次序可得：
dy yf y ( x, y)dx
0
0
0
dx
0
yf y ( x, y)dy
1
再考虑积分
0
yf y ( x, y)dy ，注意这里是把变量 x 看做常数的，故有
1 1
yf y (x, y) dy
0
0
ydf (x, y)
1
1
1
yf ( x, y) 0 f ( x, y) dy
0
0
f (x, y)dy
因此
1
1
1
1
xyfxy ( x, y) dxdy
D
dx
0
0
yf y ( x, y)dy
dx
0
f (x, y)dy
0
f ( x, y)dxdy a
D
T
1
T
3
T
20、（本题满分 11 分）
T
1,0,1
T
, 2
T
0,1,1 ,
1,3,5
不能由
2
1 1,a,1 ,
1,2,3
1
,
3
1,3,5 线性表出。①求 a ；②将 1 , 2 ,
3
1
3由 1
,2 , 3 线性表出。
2
3
2 4
1 1 0
5 2
【答案 】：① a
5 ；②
2
2 10
【考点分析】 ：本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念，解题时注意把线性表出 与线性方程组的解结合起来。
【解析】：① 由于 1, 2 , 3 不能由 1, 2, 3表示
1 1 3
可知1231
2 4 3 a
a 5 0 ，解得 a 5
1
②本题等价于求三阶矩阵
C使得 1,
1
2
,
3
1 2 1
,,
3
C
1 0 1
123
1 1 3 1 2 4 1 3 5
可知C1, 2, 3
,,
0 1 3 1 1 5
2 4
1 1 0
5
计算可得 C
1
2
2 10
2
2
3
3
1
2
1 5 2
因此
4 2 10
1 0
1
2，且A 0
1 0
1 1 0 0 1 1
21、（本题满分 11 分） A 为三阶实矩阵， R( A)
1 1
（1）求 A 的特征值与特征向量（ 2）求 A
1 -1 0
， 1
【答案 】：（ 1）
的特征值分别为 1， -1， 0，对应的特征向量分别为
0 ， 0
1
1
1 （2）A00 0
0 0 1 0
0
【考点分析】 ：实对称矩阵的特征值与特征向量，解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。
- 1 - 1 1 1 【解析】：
（1）
0 - 0
0 0
1
1
1
1
1
-1
可知： 1， -1 均为
的特征值， 1
0 与 2 0 分别为它们的特征向量
1
1
r ( A) 2 ，可知 0 也是
的特征值
而 0 的特征向量与
1 ，
2 正交
x1
设 3
x2 为 0 的特征向量
x3
0
有x1 x3
0
3
得
k 1
x1 x3
0
0
的特征值分别为 1， -1， 0
1
- 1 0
对应的特征向量分别为
0， 0 ， 1
1
1
0
-1
（ 2）
0
2011年考研数学一试卷真题与答案解析
