高等数学教学教案
第二章 函数的导数与微分
授课序号01
教 学 基 本 指 标 教学课题 第二章 第一节 导数的概念及基本求导公式 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 用导数定义求极限 教学重点 导数定义，导数的集合意义，可导和连续之间的教学难点 导数的定义，关系，导数的四则运算 作业布置 课后习题 参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》大纲要求 理解导数的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。 掌握导数的四则运算法则 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 1、导数的定义 定义 设函数y?f?x?在x0的某个邻域内有定义，当x在x0处增量为?x（x0??x在该邻域内）时，相应的函数有增量?y?f?x0??x??f?x0?，如果 f?x0??x??f?x0?f(x)?f(x0)?y lim?lim?lim?x?0?x?x?0x?x0?xx?x0存在，则称该极限为y?f?x?在点x0处的导数, 记为 f??x0?，y?x?x0，dydxx?x0或df(x)dxx?x0. 这时也称函数y?f?x?在点x0处可导. 如果该极限不存在，称函数y?f?x?在点x0处不可导. 特别地，如果?y??时，也称函数y?f?x?在点x0处的导数为无穷大. ?x?0?xlim2、左右导数的定义 若 ?x?0lim?f?x0??x??f?x0?f?x??f?x0??y?lim??lim?x?x0?x?x?0?xx?x0 存在，则称其为函数f?x?在x0处的右导数，记作f???x0?； 若 ?x?0lim?f?x0??x??f?x0?f?x??f?x0??y?lim??lim?x?x0?x?x?0?xx?x0 存在，则称其为函数f?x?在x0处的左导数，记作f???x0?； 二、定理与性质： 定理1 若函数f?x?在x0处可导，则函数f?x?在x0处必连续. 定理2 若u?x?、v?x?在点x处的导数均存在，则它们的和、差、积、商的导数也都存在，且有 ??u'x?v'x； （1）?ux?vx????????????（2）??u?x??v?x????u'?x?v?x??u?x?v'?x?； ?u?x???u'?x?v?x??u?x?v'?x?（3）?（v?x??0）. ??2v?x??v?x??定理3 如果单调函数x???y?在某一区间Iy内可导，且???y??0，则它的反函数y?f?x?在对应的区间Ix?xx???y?,y?Iy内也可导，且 ??f??x?? 三、主要例题： 1???y?y?f?x?. 例1 求函数y?x3在x?1处的导数f?(1). 例2 设f?(0)存在，试求下列各极限： (1) limx?0f(2x)?f(0)f(x),其中f(0)?0. ; (2) limx?0xx例3 求f?x??C（C为常数）的导数. 例4 求f?x??x（n为正整数）的导数. n例5 求f?x??sinx的导数. 例6 求f?x??ax?a?0,a?1?的导数. 例7 求f?x??logax?a?0,a?1?的导数. ?sinxx?0例8 已知f?x???，求f???0?,f???0?及f??0?. x?0?x例9求曲线y?1?1?在点?,2?处的切线斜率，并写出切线及法线方程. x?2?π； 7例10 计算下列函数的导数： 3（1）y?3x?lnx?sinx?e； （2）f?x??x?4cosx?sin（3）y?(x2?3ax)(sinx?1)； （4）y?(2x?3)(1?x)(x?2)； (5) y?x?12xtanx； (6) f?x??. lnx1?x20?x?1?2x,例11 求函数f(x)??2的导数. x?1,1?x?2?
同济大学高等数学教案第二章一元函数微分学及其应用
