北师大版高中数学必修一练习：第4章 函数应用 4.1.1

1.1 利用函数性质判定方程解的存在

课后篇巩固提升

A组 基础巩固

1.下列图像表示的函数中没有零点的是( )

解析:函数y=f(x)的零点就是函数图像与x轴交点的横坐标.A项中函数图像与x轴没有交点,所以该函数没有零点.B项中函数图像与x轴有一个交点,所以该函数有一个零点;C,D两项中的函数图像与x轴有两个交点,所以该函数有两个零点.故选A. ★答案☆:A

2.设函数f(x)=x2+-a(x≠0),a为常数,且a>2,则函数f(x)的零点个数是( ) A.1

B.2

1

1??C.3 D.4

解析:令h(x)=x2-a,g(x)=-??.因为h(1)=1-a<-1,g(1)=-1,所以h(1)

由图可知函数h(x)与g(x)有三个交点,即f(x)=x2+-a有三个零点. ★答案☆:C

3.已知x0是函数f(x)=2x+1-??的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( ) A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

1

1??解析:函数f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上是增加的.

∵x0是f(x)的一个零点,且x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞), ∴f(x1)<0,f(x2)>0.

★答案☆:B

4.已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的,且有如下部分对应值表:

x 1 2 3 4 5 6 ---f(x) 136.1 15.6 10.9 3.9 52.5 232.1 则函数的零点至少有( ) A.2个 C.4个

B.3个 D.5个

解析:在(2,3),(3,4),(4,5)内均至少有1个零点,从而该函数的零点至少有3个. ★答案☆:B

5.设x0是方程()=√??的解,则x0所在的范围是( )

3A.(0,)

3解析:构建函数

1f(2)1

1??

B.(,) 321??

f(x)=()

31

1

11

C.(,) 231f()312

D.(,1)

1

23?√??,则=

13(3)1?√

3=

13(3)1

12?()>0, 31

=

12(3)12?(2)<0,

11

∴函数f(x)的零点所在的区间是(3,2), ∴解:x0所在的区间是(3,2).故选B.

★答案☆:B

6.函数f(x)=x-??的零点是 . 解析:令f(x)=0,即x-??=0,解得x=2或x=-2. ★答案☆:2,-2

7.若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,则a= . 解析:当a=0时,函数f(x)=-x-1有一个零点为-1;

4

4

11

当a≠0时,要使函数f(x)仅有一个零点,需Δ=1+4a=0,所以a=-.故a=0或a=-. ★答案☆:0或-

8.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,在(0,2)内无零点,且在(2,+∞)上是增加的,则该函数有 个零点,所有零点的和等于 . 解析:∵f(x)是定义域为R的奇函数,

14

1414∴f(0)=0.

∵-2是它的一个零点,

∴2也是它的零点,故一共有3个零点,它们的和为0.

★答案☆:3 0

9.求函数f(x)=-3x2-7x+6的零点,并指出f(x)>0,f(x)<0时,x的取值范围. 解:由方程-3x2-7x+6=0,得x1=-3,x2=3,

所以函数f(x)=-3x2-7x+6的零点为-3,. 配方得

72

f(x)=-3(??+6)232

+12.

121

作出函数的简图,如图所示,从图像可知,

当-30,当x<-3或x>时,f(x)<0.

10.已知函数f(x)=x3-x2++,求证:存在x0∈(0,),使f(x0)=x0.

242证明:令g(x)=f(x)-x=x3-x2-x+.

1214??

1

1

2323∵g(0)=4,g(2)=f(2)?2=-8, ∴g(0)·g()<0.

2∵函数g(x)的图像在[0,2]上是连续曲线, ∴存在x0∈(0,2),使g(x0)=0,即f(x0)=x0.

1

1

1

11111