圆锥曲线秒杀法
吴磊
研究高考作文之余，本人也研究高考数学的秒杀方法，主要包括
隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线
一、圆锥曲线部分小题用到的方法
1、椭圆C：x2/8+y2/2=1与斜率K=1/2的直线l相切，则切点坐标为________
注:传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法 法一、隐函数求导
直接对C：x2/8+y2/2=1求关于X导数可得 x/4+yy'=0，带入K=1/2，x=-2y,带入椭圆方程，很容易解出切点为(-2,1)和 (2,-1)；
法二、缩放坐标
将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题，将X轴压缩为原来的1/2，即x=2x'(这里不是导数，只表示一个未知数)；斜率K'=2K=1，椭圆化为圆C': x'2+ y'2=2;很容易求得I'与C'相切于(-1,1)和 (1,-1)，还原，可知I与C相切于(-2,1)和 (2,-1)
2、椭圆C：x2/4+y2/3=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:______
法一、直接用柯西不等式
椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离，
l'= x-2y+b=0;构造柯西不等式可知(x2/4+y2/3)（4+12）≥(x-2y)2;-4≤b≤4;把4和-4代入l'；再利用平行线距离公式求I和l'距离，最大距离为√5 所以0≤d≤√5 法二、缩放坐标系
椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离。
l'= x-2y+b=0；缩放y=√3/2 y'；椭圆C缩放后方程C'为: x2+y2=4；l'缩放后表达式为l''=x-√3y+b=0, C'与l''相切，利用点到直线距离为半径，容易求的b=4和-4；再利用平行线距离公式很容易求得范围为0≤d≤√5
3、过定点(4、0)的直线l与椭圆C：x2/4+y2=1有公共点，则直线l斜率K取值范围为:______ 法一、直接用柯西不等式
l:my=x-4,则x-my=4;构造柯西不等式，(x2/4+y2)（22+ m2）≥(x-my)2 可得，m2≥12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为 -√3/6≤k≤√3/6 法二、缩放坐标
l:my=x-4， x=2x' C': x' 2+ y' 2 =1; I':m y'=2 x'-4, 用点到直线距离公式，d=4/√(4+ m 2)≤1；可解的m2≥12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为 -√3/6≤k≤√3/6
二、柯西不等式
柯西不等式在高中数学提升中非常重要，是高中数学研究内容之一，是求某些函数最值中和证明某些不等式时经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。
柯西不等
柯西不等式---[方和 积不小于积和 方]
?a12?a22?L?an2???b12?b22?L?bn2???a1?b1?a2?b2?L?an?bn?a1a2a??L?n时取等 b1b2bn2
当且仅当b1?b2?L?bn?0或柯西不等式的主要变形公式
变形公式1
2222a1?b1?a2?b2?L?an?bn?a1?b1?a2?b2?L?an?bn?a12?a2?L?an?b12?b2?L?bn 取等条件同
变形公式2
?a1?b1?a2?b2?L?an?bn?2??a1?a2?L?an?g?b1?b2?L?bn?
a1?b1?a2?b2?L?an?bn?a1?b1?a2?b2?L?an?bn?a1?a2?L?an?b1?b2?L? 变形公式3
2222a12?a2?L?an?b12?b2?L?bn??a1?b1?2??a2?b2??L??an?bn?柯西22不等式三角公式
变形公式4
22a1?a2?L?an??a12a2an??L?? 取等条件同 b1b2bnb1?b2?L?bn2变形公式5
a1?a2?L?an??a1a2an??L?? 取等条件同 b1b2bna1?b1?a2?b2?L?an?bn
2三、仿射
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