3. 设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)?1，g(0)?0，L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D，已知
?求f(x)和g(x)。
Lxydx?[yf(x)?g(x)]dy???yg(x)d?，
D 6
1.5CM
., .. ..
华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学AⅡ参考答案 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．{(x,y)|y2?2x?1?0} 2．3
3．9y?z?2?0 4．yzxyz?1dx?zxyzlnxdy?yxyzlnxdz 5．0?p?1 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．C 2．C 3．C 4．B 5．A
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程y'?y?ex满足初始条件x?0，y?2的特解。 解：先求y'?y?0的通解，得y?Cx1e?………………2分
采用常数变易法，设y?h(x)e?x，得y'?h'(x)e?x?h(x)e?x………3分 代入原方程得h'(x)e?x?h(x)e?x?h(x)e?x?ex………………4分
得h(x)?1e2x2?C………………5分
故通解为y?12ex?Ce?x………………6分
将初始条件x?0，y?2带入得C?32，故特解为y?12ex?32e?x…………7分
2. 计算二重积分??x?yx2?y2dxdy，其中D?{(x,y):x2?y2?1,x?y?1}。 D解：设x?rcos?,y?rsin?………………1分
则0????2,1sin??cos??r?1………………3分
所以??x?y?2d?1rcos??rsin?2dxdy?1rdr………………5分 Dx?y2?0?2sin??cos?r???20(sin??cos??1)d?………………6分
?4??2………………7分
参考.资料
3. 设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数，求解：设F(x,y,z)?x?4y?3z?2sin(x?2y?3z)………………1分
?z?z ?。
?x?yFx?1?2cos(x?2y?3z),Fy??4?4cos(x?2y?3z),Fz?3?6cos(x?2y?3z)………………4分
FyFx?z2cos(x?2y?3z)?1?z4cos(x?2y?3z)?4……6分 ???,????xFz3[1?2cos(x?2y?3z)]?yFz3[1?2cos(x?2y?3z)]所以
?z?z??1………………7分 ?x?y
4. 求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy，其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0)，逆时针
L方向。
解：圆的参数方程为：x?acost,?y?asint(0?t???2)……………1分
?(x?y)dx?(x?y)dy??L20(acost?asint)dacost??2(acost?asint)dasint……3分
0??a2?20(cos2t?sin2t)dt………………4分
?a22?[sin2t?cos2t]0………………6分 2??a2………………7分
（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）
5. 计算??y51?x2?y6dxdy，其中D是由y?3x， x??1及y?1所围成的区域。
D解：D?{(x,y)|3x?y?1,?1?x?1}………………1分
8
., .. ..
??yD51?x?ydxdy??dx?3y51?x2?y6dy………………2分
?1x261131212621????[(1?x?y)]3xdx………………4分
63?111???(|x|3?1)dx………………5分
9?121???(x3?1)dx………………6分
901?………………7分 6
(?1)nn1?6. 判断级数?的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。 nn?1n?1?(?1)nn1n1解：………………1分 ???n?1n?1nn1(n??)………………3分 n所以级数发散。………………4分 又
(?1)nn111??(?1)n(1?)………………5分 n?1n?1nn(?1)n(?1)n?1………………6分 ??n(n?1)n?(?1)n(?1)n显然，交错级数?，?都收敛，所以原级数收敛。因此是条件
nn?1n?1(n?1)n?收敛。………………7分
7. 将函数
1展开成x的幂级数，并求其成立的区间。
(1?x)(2?x)参考.资料
解：
111??………………2分
(1?x)(2?x)1?x2?x?1??xn,|x|?1………………3分 而
1?xn?011xx?[1??()2?2?x222所以
?](|x|?2)………………4分
1xx?[1??()2?222]………………5分
1?1?x?x2?(1?x)(2?x)??(1?n?01)xn………………6分 n?12成立范围|x|?1………………7分
四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1. 抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上任一点P的坐标为P(x,y,z)，P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为x2?y2?z2，………………1分 构造拉格朗日函数
F?x2?y2?z2??(x2?y2?z)??(x?y?z?1)………………2分
?Fx?2x?2x????0?F?2y?2y????0?y?F?2z?????0………………4分 ?z?F?x2?y2?z?0????F??x?y?z?1?01解得x?(?1?3)………………5分
213131313?(??,??,2?3),P?(??,??,2?3) 得两个驻点为P1222222222…………………6分
10
2017年高等数学下试题与参考答案
