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泛函和泛函的极值
泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值。
作为变分法的简单例题。考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。
设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。于是，这一曲线的长度为
连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式，L [y]依赖于y（x），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。
求解最短程线问题，即在满足边界条件
在x=x1时， y（x）=y1 y'（x1）= y'1 在x=x2时， y（x）=y2 y'（x1）= y'1
的函数y（x）中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。因此 y（x）称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函
在边界条件 y（x1）=y1, y（x2）=y2的极小值问题。
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假设函数y（x）是使得泛函L [y]为最小的特定函数（真实的）。变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数
引起泛函L [
]的改变。设
其中??为小参数，而??(x)为边界值为零的任意函数。当x固定时，容许函数与y（x）的差???y 称为泛函自变函数的变分，即
类似地，容许函数变分，即
的斜率与y（x）斜率的差??y', 称为泛函自变函数斜率的
应该注意 ??y 与函数y（x）的微分dy之间的差别，dy是自变量x的改变量dx引起的y（x）的无穷小增量。而变分??y 是 y（x）的任意一个微小的改变量。 设泛函增量
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按泰勒级数展开，则
设泛函的增量由泛函的变分表示，有
分别定义为泛函的一阶，二阶或k阶变分，分别为??的一次，二次或者k次齐次式。
根据假设，y（x）是使得泛函J[y]为最小的特定函数。从而泛函增量??J 大于零。注意到当参数??减小时，函数零。
首先讨论泛函J[y]为极值的条件，考虑泛函增量各项相对量阶的大小。由于一阶变分??y 与小参数? 成正比，而二阶变分??2y 与小参数?2 成正比，一般的讲，而k阶变分??ky与小参数?k 成正比。因此，当? 充分小时，二阶以上各项变分与一阶变分??J 比较，可以忽略不计。所以，泛函增量??J 趋近于零的条件为
??J =0
在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值，需要考虑泛函的二阶变分??2J。
趋近于y（x），泛函增量??J 趋近于
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在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值，需要考虑泛函的二阶变分 。因为满足极值条件时
由于二阶变分??2J与小参数? 成正比，而k阶变分??kJ 与小参数??k 成正比。因此，当? 充分小时，三阶以上变分与二阶变分??2J 比较，可以忽略不计。因此，如果??2J ≥0，则 ??J＞0，泛函J[y]为极小值的；反之，如果 ??2J ≤0，则??J ＜0，泛函J[y]为极大值的。
因此可以得出结论，泛函J具有极值的条件是其一阶变分? J=0，如果二阶变分??2J是正定的，则此极值是最小值；如果二阶变分??2J是负定的，则此极值是最大值。
上述条件为泛函极值的充分条件。以下讨论泛函J [y]极值的必要条件。 对于泛函J[y]的一阶变
分
由于变分??y 和??y' 不是独立无关的，因此上式第二项积分可以写作
回代则
回代，则
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（整理）泛函和泛函的极值
