概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
（3）联设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元合分布函数 函数 F(x,y)?P{X?x,Y?y} 称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{(?1,?2)|???X(?1)?x,???Y(?2)?y}的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： （1）0?F(x,y)?1; （2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即 当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1); （3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即 F(x,y)?F(x?0,y),F(x,y)?F(x,y?0); （4）F(??,??)?F(??,y)?F(x,??)?0,F(??,??)?1. （5）对于x1 ?x2，y1?y2，F(x2，y2)?F(x2，y1)?F(x1，y2)?F(x1，y1)?0. （4）离散型与连续型的关系 P(X?x，Y?y)?P(x?X?x?dx，y?Y?y?dy)?f(x，y)dxdy 1
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（5）边离散型 缘分布 X的边缘分布为 Pi??P(X?xi)??jpij(i,j?1,2,?)； Y的边缘分布为 P?j?P(Y?yj)??ipij(i,j?1,2,?)。 连续型 X的边缘分布密度为 fX(x)?????? f(x,y)dy；Y的边缘分布密度为 fY(y)??????f(x,y)dx. （6）条离散型 件分布 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为 P(Y?yj|X?xi)?pijpi?； 在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为 P(X?xi|Y?yj)?pijp?j, 连续型 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 f(x|y)?f(x,y)fY(y)； 在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 f(y|x)?f(x,y)fX(x) （7）独一般型 立性 离散型 F(X,Y)=FX(x)FY(y) pij?pi?p?j 有零不独立 1
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连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 二维正态分布 f(x,y)?2??1?12?1??2e??x??1????2?2(1??)?1?1?2?(x??1)(y??2)?y??2????????1?22??2????2????, ?＝0 随机变若X1,X2,?Xm,Xm+1,?Xn相互独立， h,g为连量的函续函数，则： 数 h（X1，X2,?Xm）和g（Xm+1,?Xn）相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。 1
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（8）二设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 维均匀?1?(x,y)?D分布 f(x,y)??SD???0,其他?其中SD为区域D的面积，则称（X，匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D1 O 1 x 图3.1 y 1 D2 1 O 2 x 1 图3.2 Y）服从D上的均概率论与数理统计 公式（全）
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（9）二设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 维正态分布 f(x,y)?2??1?121??2e??x??1????22(1??)???1?1?2?(x??1)(y??2)?y??2????????1?22??2????2????, 其中?1,?2,?1?0,?2?0,|?|?1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 记为（X，Y）～N（?1,?2,?12,?22,?). 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 即X～N（?1,?12),Y~N(?2,?2). 2但是若X～N（?1,?12),Y态分布。 （10）Z=X+Y 函数分布 （?~N(?2,?2)，(X，Y)未必是二维正2根据定义计算：FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z)?? 对于连续型，fZ(z)＝?f(x,z?x)dx ??两个独立的正态分布的和仍为正态分布1??2,?1??222）。 n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 ???Cii?i， ?2??Ci2i?i2 1
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