概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
第1章 随机事件及其概率
Pm?nm!(m?n)! 从m个人中挑出n个人进行排列的可（1）排列组合公式 能数。 Cm?nm!n!(m?n)! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可（2）加法和乘法原理 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一重复排列和非重复排列（有序） 些常见对立事件（至少有一个） 排列 顺序问题 由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n （4）随如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试机试验验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不和随机能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 事件 试验的可能结果称为随机事件。 1
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2011-1-1
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； （5）基②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 本事这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?来表示。 件、样本空间基本事件的全体，称为试验的样本空间，用?表示。 和事件 一个事件就是由?中的部分点（基本事件?）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，?表示事件，它们是?的子集。 为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ?①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A（6）事发生必有事件B发生）：A?B 件的关如果同时有A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，系与运或称A等于B：A=B。 算 A、B中至少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示1
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2011-1-1
A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A?B，或者AB。A?B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 ?-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A不发生的事件。互斥未必对立。 A。它表示②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) ??i 德摩根率： A?B?A?B，A?B?A?B 设?为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： （7）概1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 率的公3° 对于两两互不相容的事件A，A，?有 ??理化定?P?A?????P(A)?? 义 常称为可列（完全）可加性。 i?1i?112?A??Ai??iii?1i?1则称P(A)为事件A的概率。 1° ????（8）古典概型 2° P(?1,?2??n?， 1n2)?P(?2)??P(?n)?11。 m设任一事件A，它是由?,???组成的，则有 P(A)=?(?)?(?)???(?)? =P(?)?P(?)???P(?) 12m12m1
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?mn?A所包含的基本事件数基本事件总数 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以（9）几使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概何概型 型。对任一事件A， P(A)?L(A)L(?)。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 （10）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 加法公当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) 式 （11）P(A-B)=P(A)-P(AB) 减法公当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 式 当A=Ω时，P(B)=1- P(B) 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称P(AB)为事P(A)（12）件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为P(AB)。 P(B/A)?P(A)条件概条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条率 件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)?P(A)P(B/A) （13）更一般地，对事件A1，A2，?An，若P(A1A2?An-1)>0，乘法公则有 P(AA?A)?P(A)P(A|A)P(A|AA)??P(A|AA?式 A)。 12n121312n12n?11
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①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。 （14）?与任何事件都互斥。 独立性 ②多个事件的独立性 P(A)P(A)P(B|A)?P(AB)?P(A)P(B)?P(B)设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件B,B,?,B满足 （15）1°B,B,?,B两两互不相容，P(B)?0(i?1,2,?,n)， 12n12nin全概公式 2°则有 A??Bi?1i， 。 P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)12设事件B，B，?，B及A满足 1° B，B，?，B两两互不相容，P(Bi)>0，i?1，（16）2，?，n， n12nn贝叶斯公式 2° 则 A??Bi?1i，P(A)?0， ，i=1，2，?n。 P(Bi/A)?P(Bi)P(A/Bi)n?P(Bj?1j)P(A/Bj)1
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