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考点二 系统抽样
【典例2】(1)(2024·全国卷Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是 ( )
A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生
(2)从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为( )
A.8 B.10 C.12 D.16
【解析】(1)选C.由已知将1 000名学生分成100个组,每组10名学生,用系统抽样,46号学生被抽到,所以第一组抽到6号,且每组抽到的学生号构成等差数列{an},公差d=10,所以an=6+10(n-1)(n∈N*),
若8=6+10(n-1),则n=1.2,不合题意;若200=6+10(n-1),则n=20.4,不合题意;
若616=6+10(n-1),则n=62,符合题意;若815=6+10(n-1),则n=81.9,不合题意.故选C.
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(2)选B.从80件产品中用系统抽样的方法抽取5件,则可将这80件产品分成5组,每组16件,每组抽取1件,而编号为42的产品在第3组,所以第1组所抽取产品的编号为42-16×2=10.
1.把典例(2)中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“已知10,a,42,b,74号在样本中”,求a+b.
2.把典例(2)中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“抽到产品的编号之和为185”,则抽到的最小编号是多少?
【解析】1.由典例中解析易知编号构成首项为10,公差为16的等差数列,易求得a=26,b=58,故a+b=84. 2.利用等差数列前n项和公式S5=5a1+的最小编号是5.
系统抽样的注意点
1.系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.
2.若不改变抽样规则,则所抽取的号码构成一个等差数列,其首项为第一组所抽取的号码,公差为样本间隔.故问题可转化为等差数列问题解决.
3.抽样规则改变,应注意每组抽取一个个体这一特性不变.
4.如果总体容量N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样的方法抽样,其中起始编号的确定应用简单随机抽样的方法.
·16=185,得a1=5,即抽到
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2024版高考文科数学人教通用版大一轮复习考点集训：考点二 9.2 系统抽样
