2013高考数学教案和学案(有标准答案)--第6章--学案31

学案31 数列的综合应用

导学目标: １．通过构造等差、等比数列模型,运用数列的公式、性质解决简单的实际问题．2．对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求,另外还要注重数列在生产、生活中的应用.

自主梳理

1.数列的综合应用

数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会.

(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法.

(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题.

(3）由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的.

(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中,经常要对公比进行讨论；由Sn

求an时，要对_＿＿_____＿_进行分类讨论.

2.数列的实际应用

数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答应用问题的核心是建立数学模型.

（1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型,是求ａn还是求Sn.

(２)分期付款中的有关规定

①在分期付款中,每月的利息均按复利计算; ②在分期付款中规定每期所付款额相同;

③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值;

④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．

自我检测

１.(原创题）若Ｓｎ是等差数列{an}的前n项和,且S８-S3=10,则Ｓ1１的值为___＿_＿＿_． 2.在等比数列｛an｝中,aｎ＞an＋1,且a7·a1１=6,ａ4＋ａ1４＝５,则＼f(ａ6,a16)＝＿_＿_＿___. 3．“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2 ｋｍ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间大约是________秒.

4．已知数列{an}的通项为ａｎ＝错误!,则数列｛an}的最大项为第________项． ５.(２０10·南京模拟)设数列{an}，｛bｎ}都是正项等比数列，Ｓn,Tn分别为数列｛lg an}与｛lg bn}的前ｎ项和,且错误!=错误!，则lｏgb５a５＝＿______＿.

探究点一 等差、等比数列的综合问题

例1 设{an}是公比大于1的等比数列,Sｎ为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且a1＋３，3a2,a3＋４构成等差数列．

（1）求数列｛an｝的通项；

(2)令ｂn＝ln a３n＋１，ｎ＝1，２，…,求数列{bｎ}的前n项和Tｎ．

变式迁移１ 假设a1,ａ2，a３,a４是一个等差数列，且满足0

（1)数列｛bn}是等比数列;(2)ｂ２>4;(3)ｂ4>32；（４）b2ｂ4＝２5６．其中正确命题的个数为＿＿__＿___．

探究点二 数列与方程、函数、不等式的综合问题

例2 已知函数f(x)=＼f(2x＋3,3ｘ)，数列｛ａn}满足a1＝1,an＋1＝f错误!,ｎ∈Ｎ*, （１)求数列{an｝的通项公式；

（２)令Tn=a1a２-ａ2a3＋ａ3a4-a4a5+…-ａ2ｎａ２n＋1,求Tn;

（3)令ｂｎ=＼f(１,an-1an) (ｎ≥２)，b1＝3，Sn＝b1+b２＋…+bn,若Sn<错误!对一切n∈Ｎ*

成立,求最小正整数m.

变式迁移2 已知单调递增的等比数列{aｎ}满足：a2+a３＋a4＝２8，且a3+2是a2,ａ４的等差中项．

(１)求数列｛an}的通项公式;

（２）若bn=anlog1ａn，Sn＝b1＋ｂ2+…+bn,对任意正整数n，Sn＋(n＋m)ａn＋1＜0恒成

2立，试求m的取值范围.

探究点三 数列在实际问题中的应用 例３ (２0１0·福州模拟)有一个下岗职工，1月份向银行贷款10 00０元,作为启动资金开店,每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳所得税为该月月利润的10％,每月的生活费为300元,余款作为资金全部投入下个月的经营,如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%,问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？

变式迁移3 假设某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加5０万平方米．那么，到哪一年底,

(１）该市历年所建中低价房的累计面积(以201１年为累计的第一年)将首次不少于4 75０万平方米?

(2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据:1.0８4≈1.3６,１.０85≈1.４7,１．0８6≈1.5９）

1.数列实际应用问题：(1)数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．(2)在试题中常用的数学模型有①构造等差、等比数列的模型,然后再去应用数列的通项公式求解；②通过归纳得到结论,用数列知识求解.

2．解决数列综合问题应体会以下思想及方法:(１)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质（多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3）数列与解析几