参考答案解析
1．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC． （1）求证：AC是⊙O的切线： （2）若BF＝8，DF＝
，求⊙O的半径；
（3）若∠ADB＝60°，BD＝1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）
（1）证明：连接OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODF+∠OFD＝90°， ∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，而∠CFA＝∠OFD，∴∠ODF+∠CAF＝90°， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°， ∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OF＝8﹣r， 在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2＝（即⊙O的半径为6；
（3）解：∵∠BOD＝90°，OB＝OD， ∴△BOD为等腰直角三角形， ∴OB＝∴OA＝
BD＝，
，
）2，解得r1＝6，r2＝2（舍去），
∵∠AOB＝2∠ADB＝120°， ∴∠AOE＝60°， 在Rt△OAC中，AC＝
OA＝
，
∴阴影部分的面积＝??﹣＝．
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2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE． （1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分（弓形）面积．
（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵DC＝BC， ∴AD＝AB， ∴∠D＝∠ABC， ∵∠E＝∠ABC， ∴∠E＝∠D， ∴CD＝CE．
（2）解：由（1）可知：∠ABC＝∠E＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得到BC＝2连接OC，则∠COB＝120°， ∴S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝
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，
﹣×××2＝﹣．
3．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．
（1）求直径AB的长．（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝30°，∴AB＝2AC，
∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AB2+62， ∴AB＝4
（2）连接OD． ∵AB＝4
，∴OA＝OD＝2
，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，
?2
＝6，
．
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，∴S△AOD＝OA?OD＝?2∴S扇形△AOD＝?π?OD2＝?π?（2
）2＝3π，
∴阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD＝3π﹣6．
4、如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连结AC．（1）求证：AB＝AC．（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．
（1）证明：连接AP，
∵AB是半圆O的直径，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BC． ∵PC＝PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC；
（2）解：①∵∠APB＝90°，AB＝4，∠ABC＝30°，∴AP＝AB＝2， ∴BP＝
＝＝2
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②连接OP，∵∠ABC＝30°，∴∠PAB＝60°，∴∠POB＝120°． ∵点O时AB的中点，∴S△POB＝S△PAB＝×AP?PB＝×2×2∴S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB＝
﹣
＝π﹣
．
＝
，
5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为BC边上一点，以OC为半径的圆O，交AB于D点，且AD＝AC．延长DO交圆O于E点，连接AE．
（1）求证：DE⊥AB；（2）若DB＝4、BC＝8，求AE的长．
（1）证明：连接AO．∵AD＝AC，AO＝AO，OD＝OC，∴△AOD≌△AOC（SSS）， ∴∠ADO＝∠ACO＝90°，∴DE⊥AB．
（2）解：设OD＝OC＝x，在Rt△OBD中，∵OB2＝BD2+OD2，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3， 设AD＝AC＝y，在Rt△ACB中，∵AB2＝AC2+BC2，∴（y+4）2＝y2+82，∴y＝6， 在Rt△ADE中，AE＝
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好经过点D．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，⊙O的半径是2，求线段CD的长．
＝
＝6
．
（1）证明：连接OD． ∵BD平分∠ABC，
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∴∠DBC＝∠DBA， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠DBA， ∴∠ODB＝∠DBC， ∴OD∥BC，
∴∠ODA＝∠C＝90°， ∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ADO中，∠A＝30°， ∴AO＝2DO＝4， ∴AB＝4+2＝6， ∴BC＝3， 在Rt△BCD中，
∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DBC＝∠DBA＝30°， 设DC＝x，则DB＝2x， ∵DC2+BC2＝BD2， ∴x2+9＝4x2，解之得，x＝∴CD＝
7．如图，已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC． （1）求证：∠ACD＝∠ACF；（2）当AD⊥CD，BE＝2cm，CF＝8cm，求AD的长．
．
（1）证明：连接OC，
∵CD切⊙O于C点，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°， ∵CF⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠ACF+∠CAE＝90°，
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2020重庆中考复习数学第20题有关圆的计算和证明专题训练一
