算法设计与分析
项 目 名 称：用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0/1背包问题
作者姓名：余武丹
李红波 刘红梅
完成日期：2013年9月20日
目录
第一章：简介（Introduction）
第二章：算法定义（Algorithm Specification）
第三章：测试结果（Testing Results）
第四章：分析和讨论
第一章：简介（Introduction）
0/1背包问题是给定n个重量为{w1, w2, … ,wn}、价值为{v1, v2, … ,vn}的物品和一个容量为C的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。
在0/1背包问题中，物品i或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi表示物品i装入背包的情况，则当xi=0时，表示物品i没有被装入背包，xi=1时，表示物品i被装入背包。根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：
n?wixi?C???i?1??xi?{0,1}(1?i?n)（式1）
max?vxii?1ni（式2）
于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X=(x1, x2, …, xn)。
背包的数据结构的设计： typedef struct object { int n;//物品的编号 int w;//物品的重量 int v;//物品的价值 }wup;
wup wp[N];//物品的数组，N为物品的个数 int c;//背包的总重量
第二章：算法定义（Algorithm Specification）
1、蛮力法
蛮力法是一种简单直接的解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。蛮力法的关键是依次处理所有的元素。
用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。
所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n个物品集合的所有子集，n个物品的子集有2的n次方个，用一个2的n次方行n列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法：
void force(int a[][4])//蛮力法产生4个物品的子集 {
int i,j; int n=16; int m,t;
for(i=0;i<16;i++)
{ t=i; for(j=3;j>=0;j--) { m=t%2; a[i][j]=m; t=t/2; } }
for(i=0;i<16;i++)//输出保存子集的二维数组 { for(j=0;j<4;j++) { printf(\ \ } printf(\ } ｝
以下要依次判断每个子集的可行性，找出可行解:
void panduan(int a[][4],int cw[])////判断每个子集的可行性，如果可行则计算其价值存入数组cw,不可行则存入0
{
int i,j; int n=16; int sw,sv;
for(i=0;i<16;i++) { sw=0; sv=0; for(j=0;j<4;j++) { sw=sw+wp[j].w*a[i][j]; sv=sv+wp[j].v*a[i][j]; } if(sw<=c) cw[i]=sv; else cw[i]=0; }
在可行解中找出最优解，即找出可行解中满足目标函数的最优解。以下是找出最优解的算法：
int findmax(int x[16][4],int cv[])//可行解保存在数组cv中，最优解就是x数组中某行的元素值相加得到的最大值
{ int max; int i,j; max=0; for(i=0;i<16;i++) {
if(cv[i]>max) {max=cv[i]; j=i; } } printf(\最好的组合方案是：\ for(i=0;i<4;i++) { printf(\ \ } return max; } 。
2、动态规划法
动态规划法将待求解问题分解成若干个相互重叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一个阶段，一般来说，子问题的重叠关系表现在对给定问题求解的递推关系（也就是动态规划函数）中，将子问题的解求解一次并填入表中，当需要再次求解此子问题时，可以通过查表获得该子问题的解而不用再次求解，从而避免了大量重复计算。
动态规划法设计算法一般分成三个阶段：
（1）分段：将原问题分解为若干个相互重叠的子问题；
（2）分析：分析问题是否满足最优性原理，找出动态规划函数的递推式； （3）求解：利用递推式自底向上计算，实现动态规划过程。
0/1背包问题可以看作是决策一个序列(x1, x2, …, xn)，对任一变量xi的决策是决定xi=1还是xi=0。在对xi-1决策后，已确定了(x1, …, xi-1)，在决策xi时，问题处于下列两种状态之一：
（1）背包容量不足以装入物品i，则xi=0，背包不增加价值； （2）背包容量可以装入物品i，则xi=1，背包的价值增加了vi。 这两种情况下背包价值的最大者应该是对xi决策后的背包价值。令V(i, j)表示在前i(1≤i≤n)个物品中能够装入容量为j（1≤j≤C）的背包中的物品的最大值，则可以得到如下动态规划函数：
V(i, 0)= V(0, j)=0 （式3）
j?w?V(i?1,j) V ( i , j ) ? ? i (式4)
?max{V(i?1,j),V(i?1,j?wi)?vi}j?wi
式3表明：把前面i个物品装入容量为0的背包和把0个物品装入容量为j的背包，得到的价值均为0。式4的第一个式子表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装入
用蛮力法、动态规划法和贪心法求解01背包问题讲解
