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2006中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营）
第一天
福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分
一、 实数a1,a2,,an满足a1?a2?2kn?1i?1?an?0，求证：
2nmax(a)?1?k?n3记dk?ak?ak?1,k?1,2,??ai?ai?1?．
证明 只需对任意1?k?n，证明不等式成立即可．
,n?1，则
ak?ak，
ak?1?ak?dk，ak?2?ak?dk?dk?1,ak?1?ak?dk?1,ak?2?ak?dk?1?dk?2,把上面这n个等式相加，并利用a1?a2?,an?ak?dk?dk?1?,a1?ak?dk?1?dk?2??dn?1， ?d1，
?an?0可得
?d1?0．
2nak?(n?k)dk?(n?k?1)dk?1?由Cauchy 不等式可得
?dn?1?(k?1)dk?1?(k?2)dk?2?(nak)2??(n?k)dk?(n?k?1)dk?1??dn?1?(k?1)dk?1?(k?2)dk?2??d1?
?k?12n?k2??n?12????i??i???di?
i?1?i?1??i?1??n?12??n?12?n(n?1)(2n?1)?n?12????i???di????di? 6?i?1??i?1??i?1?n3?n?12????di?， 3?i?1?n所以 a?32k??ai?i?1n?1a?i1?．
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知识改变命运
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二、正整数a1,a2,两不相等．问：a1,a2,解 答案：a1,a2,,a2006（可以有相同的）使得a1,a2,,a2005两
a2a3a2006,a2006中最少有多少个不同的数？
,a2006中最少有46个互不相同的数．
由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故
a1,a2,,a2006中互不相同的数大于45．
下面构造一个例子，说明46是可以取到的． 设p1,p2,,p46为46个互不相同的素数，构造a1,a2,p1,p1,p2,p1,p3,p2,p3,p1,p4,p3,p4,p2,p4,p1,p1,pk,pk?1,pk,pk?2,pk,p1,p45,p44,p45,p43,p45,p46,p45,p46,p44,p46,,pk,p2,pk,p1,， ，
,a2006如下：
,p45,p2,p45,p1， ,p46,p22,p46，
这2006个正整数满足要求．
所以a1,a2,
,a2006中最少有46个互不相同的数．
知识改变命运
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2三、正整数m，n，k满足：mn?k?k?3，证明不定方程
x2?11y2?4m
22和 x?11y?4n
中至少有一个有奇数解(x,y)．
证明 首先我们证明如下一个 引理：不定方程
x2?11y2?4m ①
或有奇数解(x0,y0)，或有满足
x0?(2k?1)y0(modm) ②
的偶数解(x0,y0)，其中k是整数．
引理的证明 考虑如下表示
x?(2k?1)y x,y为整数，且0?x?2m ,0?y?m， 2??m????0,2m??1?m个表示，因此存在整数x1,x2??则共有?2m??1??????，?2????????m?y1,y2??0,?，满足(x1,y1)?(x2,y2)，且
2??x1?(2k?1)y1?x2?(2k?1)y2(modm)，
这表明
x?(2k?1)y(modm)， ③
这里x?x1?x2,y?y2?y1。由此可得
x2?(2k?1)2y2??11y2(modm)，
22故x?11y?km，因为x?2m,y?m，所以 211x?11y?4m?m?7m，
422知识改变命运
中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答
