解得：c??由a?22（舍去）或c?2 332c，可得a2?3，即a?3 2根据a2?b2?c2 可得：b?1
x2??y2?1
3②当
322222时，将a?c代入 a?c??222可得
2322 ?c?c??222整理可得：32c2?4c?22?0
Q???
?方程无解
（2）Q过点F?2,0作与坐标轴不垂直的直线l 设直线l的方程为x???2?my(m?0)
?x?2?my?联立直线l的方程和椭圆C方程可得：?x2，消掉x
2?y?1??3可得：(2?my)2?3y2?3
?3?m?y22?22my?1?0
?22my?y???2?123?m根据韦达定理可得：? ?yy??112?3?m2?AB?1?m2y1?y2?1?m22?y1?y2?2?4y1y2 ?22m?1?? ?1?m2???4?2?2???3?m??3?m? 21
?1?m?28m2?12?4m2?3?m2?
2 ?23?1?m2?3?m2设线段AB的中点P?x3,y3?， 则y3??2m32， x?2?my?333?m23?m2QVABM是正三角形
?AB?PM且PM=3AB
2根据AB?PM，可得kAB?kPM??1
?yp?y3??m?xp?x3?
?|PM|?1?m2?x3?0?1?m2?32 23?m2231?m3323由PM= AB可得：1?m2?=?2223?m23?m???可得：m2?1，解得：m??1
设M?0,t?，将其代入yp?y3??mxp?x3 可得t?y3??m?0?x3? 可得t?mx3?y3???22m2 ??23?m2?2?2??y0,?0,故在轴上是存在点M，使得?MAB为正三角形，坐标为???2??，??? 2????【点睛】本题主要考查了求椭圆方程和椭圆中的三角形问题，解题关键是掌握圆锥基础知识和椭圆中三角问题的解法，圆锥曲线与直线位置关系问题，要通过直线和圆锥曲线联立方程，通过韦达定理，建立起直线斜率与目标直线的关系，考查了分析能力和计算能力,属于难题. 21.已知函数f?x??121x?2lnx?1??ax?lnx?2??x2. 42（1）讨论f?x?的单调性.
22
（2）试问是否存在a????,e，使得f?x??3?围；若不存在，请说明理由.
?1a?sin对x??1,???恒成立？若存在，求a的取值范44【答案】(1)见解析；(2) 存在；a的取值范围为?2,e. 【解析】 【分析】
（1）f??x??xlnx?alnx?a?x??x?a??lnx?1?，x??0,???，
所以f??x??0得x1?a,x2?e，所以通过对a与0,e的大小关系进行分类讨论得f?x?的单调性； (2)假设存在满足题意的a的值，由题意需f?x?min?3?又因为f?x??3??1a?sin，所以由(1)的单调性求f?x?min即可； 441a?sin对x??1,???恒成立，所以可以考虑从区间?1,???内任取一个x值代入，解出44a的取值范围，从而将a????,e?的范围缩小减少讨论.
【详解】解：（1）f??x??xlnx?alnx?a?x??x?a??lnx?1?，x??0,???. 当a?e时，f??x???x?e??lnx?1??0，f?x?在?0,???上单调递增 当a?0时，x?a?0，f?x?在?0,e?上单调递减，在?e,???上单调递增 当0?a?e时，f?x?在?a,e?上单调递减，在?0,a?，?e,???上单调递增； 当a?e时，f?x?在?e,a?上单调递减，在?0,e?，?a,???上单调递增.
1a?sin对x??1,???恒成立. 4431a?a??15?0， 则f?1??2a??3?sin，即8a?sin4444?x?15，则存在x????,e?，使得g?x??0， 设g?x??8x?sin4??x?0，所以g?x?在x????,e?上单调递增， 因为g??x??8?cos44（2）假设存在a????,e，使得f?x??3??因为g?2??0，所以g?x??0时x?2即a?2. 又因为f?x??3?所以由（1）得：
当a?e时，f?x?在1,???上单调递增，所以f?x?min?f?1?=2a?且2e?1a?1a?sin对x??1,???恒成立时，需f?x?min?3?sin， 4444?33=2e?， 4431e??3?sin成立，从而a?e满足题意. 444 23
当2?a?e时，f?x?在?a,e?上单调递减，在?1,a?，?e,???上单调递增，
1a??f1?3?sin,????44所以? 2?f?e??ea?e?3?1sina?,?444?a?2,??所以?（*） a?24ea?sin?e?12?0?4?设h?x??4ex?sin2?x4?e2?12?2?x?e?，h??x??4e??4cos?x4?0，则h?x?在?2,e?上单调递增，
因为h?2??8e?e?13?0，
所以h?x?的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为?2,???， 所以2?x?e即2?a?e.
综上，存在a????,e，使得f?x??3??1a?sin对x??1,???恒成立，且a的取值范围为?2,e?. 44【点睛】求可导函数f?x?的单调区间的一般步骤是： （1）求定义域； （2）求f??x?；
（3）讨论f??x?的零点是否存在；若f??x?的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内； （4）判断f??x?在每个区间内的正负号，得f?x?的单调区间. 当f?x??a在区间D上恒成立时，需f?x?min?a.
请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清楚题号. 选修4-4：坐标系与参数方程选讲
?x?2cos?,xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数），以坐标原点为极点，x轴的22.在直角坐标系
?y?2?2sin?正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为?sin2??32?0???（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）已知?为锐角，直线l:??????R?与曲线C的交点为A（异于极点），l与曲线M的交点为B，若OA?OB?162，求l的直角坐标方程.
2?????. 2? 24
【答案】(1) ??4sin? ；(2) y?2x 【解析】 【分析】
(1)先消去参数?，得到曲线C的普通方程，再化成极坐标方程；
(2)由题意知，直线l是过原点的，所以求出l的斜率k或tan?的值即可写出l的方程. 【详解】解：（1）由题意知曲线C的直角坐标方程为x2??y?2??4， 即x2?y2?4y， 所以?2?4?sin?，
即??4sin?，故曲线C的极坐标方程为??4sin?. （2）因为曲线M的极坐标方程为?sin2??32?0???22?????， 2?所以??32，
sin2?将???代入，得OB?42 sin2?因为曲线C的极坐标方程为??4sin?，所以OA?4sin?
sin2?所以OA?OB?162?16tan??162，
sin2?则tan??2，故l的直角坐标方程为y?2x
【点睛】设P为平面上一点，其直角坐标为?x,y?，极坐标为??,??，则x??cos?，y??sin?，
?2?x2+y2???OP?，tan??选修4-5：不等式选讲
23.已知函数f?x??x?2a?x?y?x?0?． x1?a?0?. a（1）当a?1时，解不等式f?x???1；
（2）若不等式f?x??3恒成立，求实数a的取值范围.
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广东省佛山市第二中学2020届高三下学期第七次月考数学（理）试题（解析版）
