?x?y?3?y15.已知点?x,y?满足?4x?y?6，则
x?x?2y?6?【答案】??2,1? 【解析】 【分析】
取值范围为______.
作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的斜率公式进行求解,即可求得答案. 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图，
Qy的几何意义是区域内的点到原点的斜率， x的11
由图象知OA的斜率最小，OC的斜率最大，
?x?2y?6由?,可得C?2,2?
4x?y?6?此时OC斜率kOC?1
由??x?y?3,可得B?1,?2?
4x?y?6?此时OB斜率kOB??2， 则
y的取值范围为??2,1? x故答案为：??2,1?.
【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优解.
在四棱锥P?ABCD中，PD?AC，AB?平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD?PD?3.16.如图，
若四棱锥P?ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为_____；当四棱锥
P?ABCD的体积取得最大值时，二面角A?PC?D的正切值为_______.
【答案】 (1). 6? (2). 【解析】 【分析】
5 (1)．要求球O的表面积的最小值，需求出球O的表面积的算式，为此又需求出球O的半径，从而根据算式的特点，用函数的单调性或不等式求出最小值．
(2)．列出四棱锥P?ABCD的体积的算式，求出体积取得最大值时变量的取值，从而求出二面角
A?PC?D的正切值．
【详解】(1)．设CD?x?0?x?3?，则PD?3?x.∵AB?平面PAD， ∴AB?PD，又PD?AC， ∴PD?平面ABCD，
则四棱锥P?ABCD可补形成一个长方体，球O的球心为PB的中点，
?x2?x2??3?x?2从而球O的表面积为4???2?(2)．四棱锥P?ABCD的体积V????3???x?1?2?2??6?.
????21??3?x?x2?0?x?3?， 3则V???x2?2x，当0?x?2时，V??0；当2?x?3时，V??0. 故Vmax?V?2?，此时AD?CD?2，PD?1. 过D作DH⊥PC于H，连接AH， 则?AHD为二面角A?PC?D的平面角.
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∵DH?AD1?225?5. ，∴tan?AHD??DH55
【点睛】本题考查四棱锥的体积与球体的表面积，考查函数与方程的数学思想以及直观想象的数学核心素养.
当棱锥中有线面垂直条件时，可考虑将棱锥补形成长方体，简化思考便于计算． 找二面角平面角的常用方法有：定义法，三垂线法．
三、解答题：本大题共7小题.共70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列?an?满足a1?（1）求数列?an?的通项公式： （2）求数列??1??的前n项和Tn；
b?b?nn?1?（3）求数列?an?bn?的前n项和Sn. 【答案】（1）an【解析】 【分析】
?22n?1.（2）Tn?（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式，即可求得答案； （2）由an?22n?1，可得bn?log422n?1?的56n?5n4nS???4 （）.3n2n?19913
aa2a3?2?????nn?2n?1?2?n?N*?，bn?log4an. ?122211??12n?1?2??，?，进一步利用裂项相消法
b?b2n?12n?1??2nn?1求出数列的和，即可求得答案； （3）由an?22n?1，bn?2n?12?n?1?，可得an?bn??2n?1??2，根据错位相减求和，即可求得答案. 2【详解】（1）当.n?1，a1?2
aa2a3?2???nn?2n?1?2 ?1222an?1aan????2?2 可得a1?2?32n?2222an?2两式相减可得：nn ?12当n?2时，由a1?即an?22n?1
且上式对于n?1也成立，
?数列?an?的通项公式为：an?22n?1
（2）Qan?22n?1
2n?1 2bn?log422n?1??141??1??2???
bn?bn?1(2n?1)(2n?1)2n?12n?1???Tn?111???? b1?b2b2?b3bn?bn?1??1??11?1???1?2??1?????????????
3352n?12n?1????????1?4n??2?1?? ?2n?12n?1??2n?1（3）Qan?2，bn?2n?1 2?an?bn?2n?12n?1?2??2n?1??22?n?1? 22n?2??Sn?1?20?3?22?5?24????2n?3??2???2n?1??2?2n?1?——①
?22Sn?1?22?3?24?5?26????2n?3??2?0242n?1???2n?1??22n——②
2?n?1?由①?②可得：?3Sn?1?2+2?2?2?2?2?2???2?26??2n?1??22n
?3Sn?1?20+2?41?42?43???4?n?1???2n?1??22n
???3Sn?1?20+2?4?1?4n?1?1?4??2n?1??22n
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?3Sn?1?2?4?1?4n?1?34?1?4n?1?3??2n?1??4n ??2n?1??4n
?3Sn?1?2??Sn?56n?5n??4 99【点睛】本题考查求数列通项公式和求数列和，解题关键是掌握常见数列求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
18.已知三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?2AB?2AC?2，?BAC?90?，?BAA1?120?.
（1）求证：AB?平面AB1C；
（2）若B1C?AA1，求平面AB1C1与平面BCB1所成二面角的余弦值. 【答案】（1）答案见解析.（2）【解析】 【分析】
（1）要证AB?平面AB1C，只需求证AB1?AB，结合已知，即可求得答案；
（2）以A为坐标原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以AB1为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面AB1C142 7rrn1?n2rrrr的法向量n1和平面BCB1的法向量n2，根据cosn1,n2?rr，即可求得答案.
n1?n2?【详解】（1）Q?BAA1?120,
??ABB1?60?.
在△ABB1中,AB?1,BB1?AA1?2,
222由余弦定理得AB1?AB?BB1?2AB?BB1?cos?ABB1?3,
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广东省佛山市第二中学2020届高三下学期第七次月考数学（理）试题（解析版）
