第 二 章
2-3试证明图2-5(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
分析 首先需要对两个不同的系统分别求解各自的微分表达式，然后两者进行对比，找出两者之间系数的对应关系。对于电网络，在求微分方程时，关键就是将元件利用复阻抗表示，然后利用电压、电阻和电流之间的关系推导系统的传递函数，然后变换成微分方程的形式，对于机械系统，关键就是系统的力学分析，然后利用牛顿定律列出系统的方程，最后联立求微分方程。 证明：(a)根据复阻抗概念可得：
uo?uiR2?即
R2?1C2sR1C1sR1R2C1C2s2?(R1C1?R2C2?R1C2)s?1?R1R2C1C2s2?(R1C1?R2C2?R1C2)?11?C2sR?11C1s
d2u0du0d2uiduR1R2C1C22?(R1C1?R2C2?R1C2)?uo?R1R2C1C22?(R1C1?R2C2)i?uidtdtdtdt取A、B两点进行受力分析，可得：
dxidxodxdx?)?K1(xi?xo)?f2(o?)dtdtdtdt dxdxf2(o?)?K2xdtdt f1(整理可得：
d2xodxod2xidxf1f22?(f1K1?f1K2?f2K1)?K1K2xo?f1f22?(f1K2?f2K1)i?K1K2xidtdtdtdt
经比较可以看出，电网络（a）和机械系统（b）两者参数的相似关系为
K1
2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。
1,f1C1R1,K21,f2C2R2?(1) 2x(t)?x(t)?t;
(２)x(t)?2x(t)?x(t)??(t）。???推荐精选
2-7 由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-6所示，试求闭环传递函数Uｃ(ｓ)／Ｕｒ(ｓ)。
图2-6 控制系统模拟电路解：由图可得
U1?R1C1sR1?1C1s(?UiUo?)RoRo
UoR2?U2R0 U21?U1R0C2s
联立上式消去中间变量U1和U2,可得：
Uo(s)?R1R2??33Ui(s)RoR1C1C2s2?RoC2s?R1R2
o2-8 某位置随动系统原理方块图如图2-7所示。已知电位器最大工作角度?max?330，功率放大级放大系数为K3,要求：
(1) 分别求出电位器传递系数K0、第一级和第二级放大器的比例系数K1和K2； (2) 画出系统结构图；
(3) 简化结构图，求系统传递函数
?0(s)/?i(s)。
图2-7 位置随动系统原理图
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分析：利用机械原理和放大器原理求解放大系数，然后求解电动机的传递函数，从而画出系统结构图，求出系统的传递函数。
K0?解：（1）
E?m?303300??1800?180V/rad11?
?30?103K1???3310?10
3?20?10K2???210?103
（2）假设电动机时间常数为Tm，忽略电枢电感的影响，可得直流电动机的传递函数为
Km?(s)?Ua(s)Tm?1
?1(rads)/V。 式中Km为电动机的传递系数，单位为?1K(V/rad?s)，则其传递函数为 t又设测速发电机的斜率为
Ut(s)?Kt?(s)
由此可画出系统的结构图如下：
U?Us)U?i(112a(s)Ko s - - (s)UtKmKKK1 23 Tms?1 （3）简化后可得系统的传递函数为
Kt
?o(s)??i(s)1Tm1?K2K3KmKts2?s?1K0K1K2K3KmK0K1K2K3Km
?2t?tc(t)?1?e?e2-9 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出 响应，
试求系统的传递函数和脉冲响应。
分析：利用拉普拉斯变换将输入和输出的时间域表示变成频域表示，进而求解出系统的传递函数，然后对传递函数进行反变换求出系统的脉冲响应函数。
R(s)?解：（1）
1s，则系统的传递函数
111s2?4s?2C(s)????ss?2s?1s(s?1)(s?2)
C(s)s2?4s?2G(s)??R(s)(s?1)(s?2)
（2）系统的脉冲响应
s2?4s?212L[G(s)]?L[]?L?1[1??]??(t)?e?t?2e?2t(s?1)(s?2)s?1s?2k(t)?
?1?12-10 试简化图2-9中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。
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