2017年全国高中联合竞赛（四川初赛）试题
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1.已知函数f(x)?alnx?x在x?1处有极值，则实数a的值是 （ A ） A.?2 B.?1 C.1 D.2
22.已知?,??(0,?),tan?,tan?是方程x?3x?1?0的两个根，则cos(???)的值是（ B ）
25512 B. C. D. 323382ab3.在(x?y?z)的展开式中，所有形如xyz(a,b?N)的项的系数之和是 （ C ）
A.
A.112 B.448 C.1792 D.14336
x2y24.已知F1,F2为椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，该椭圆上存在两点A,B，使得
ab F1A?3F2B，则该椭圆的离心率的取值范围是 （ C ）
1111A.(0,) B.(0,) C.(,1) D.(,1)
2323|AC|?|AB|5.已知?ABC中，AB?BC?3CA?AB，则的最大值是 （ B ）
|BC|5512 B. C. D. 32336.已知数列{an}满足：an?(2?1)n?(2?1)n(n?N)，用[x]表示不超过实数x的最大整数，则[a2017]的个位数字是 （ A ）
A.
A.2 B.4 C.6 D.8 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
201625xkf()?______________。 7.已知函数f(x)?，则?25x?52017k?1答案：1008。
8.设a?R，复数z1?a?i,z2?2a?2i,z3?3a?4i，其中i是虚数单位。若|z1|,|z2|,|z3|呈等比数列，则实数a的值是_______________。 答案：0。
x2y2??1上的点，则|x?y|的最小值是________________。 9.若P(x,y)是双曲线84答案：2。
10.设正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，?为过直线BD1的平面，则?截该正方体的截面面积的取值范围是______________。
6,2]。 222211.已知实数x1,x2,x3满足：x1?x2?x3?x1x2?x2x3?2，则|x2|的最大值是___________。
答案：[答案：2。
12.设集合M?{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A?{(x,y,z)|x,y,z?M,且9|(x?y?z)}，则 集合A中的元素的个数是____________。
1
333
答案：243。
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13.已知数列{an}满足：a1?a,an?1? （1）若a?3，求证：数列{5an?8(n?N*)。 an?1an?2}成等比数列，并求出数列{an}的通项公式； an?4 （2）若对任意的正整数n，都有an?3，求实数a的取值范围。
2
14.1993年，美国数学家F.Smarandache提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的Smarandache函数，正整数n的Smarandache函数定义为
S(n)?min{m|m?N*,n|m!}，比如S(2)?2,S(3)?3,S(6)?3。
（1）求S(16)和S(2016)的值；
（2）若S(n)?7，求正整数n的最大值；
（3）证明：存在无穷多个合数n，使得S(n)?p，其中p为n的最大质因数。
15.如图，点A与点A?在x轴上，且关于y轴对称，过点A?垂直于x轴的直线与抛物线y?2x 交于B,C，点D为线段AB上的动点，点E在线段AC上，满足 （1）求证：直线DE与此抛物线有且只有一个公共点； （2）设直线DE与此抛物线的公共点为F，记?BCF与
2|CE||AD|?。 |CA||AB|?ADE的面积分别为S1,S2，求
S1的值。 S23
16.设?,?为实数，若对任意的实数x,y,z，有a(xy?yz?zx)?M??(x?y?z)恒成立，其中M?222?(cycx2?xy?y2?y2?yz?z2)，求?的最大值和?的最小值。
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2017年全国高中数学联赛（四川初赛）试题及答案
