《量子力学》基础习题
1．在0K附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。 2．氦原子的动能是
E?3kT2（k为玻耳兹曼常数），求T?1K时，氦原
子的德布洛意波长。
3．设质量为m的粒子在谐振子势
V(x)?1m?2x22中运动，用量子化条件
求粒子能量E的可能取值。
4．两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？
5．证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。
6．由下列两定态波函数计算几率流密度；
（1）
?1?eikr1r， （2）
?2?e?ikr1r
0?x?ax?0或x?a中运动的能
?0,V(x)????,7．求粒子在一维无限深势阱
级和波函数。
A??1a。
8．证明（2.6-14）式中的归一化常数是
9．求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。 10．一维运动的粒子处于如下状态：
?Axe??xx?0?(x)???0 x?0 其中??0，
(1) (1) 将此波函数归一化，
(2) (2) 问在何处找到粒子的几率最大？ 11．设在球坐标系中，粒子的波函数为?(r,?,?)， 求 (1)在球壳(r?r?dr)中找到粒子的几率， (2)在(?,?)方向，立体角元d?中找到粒子的几率。 12． 求三维各向同性谐掁子
U?1??2(x2?y2?z2)2的能级和波函数。
13．设?1和?2都是一维定态薛定谔方程的解，而且它们属于同一能级E，试证明：
?1dd?2??2?1?dxdxconstant.
14．上题中，若?1和?2描述的都是束缚态，试证明?1和?2只相差一个常数因子。(提示：所谓束缚态，即当x??时有??0) 15．一维线性谐振子处于基态
（1）势能的平均值
U???0????12e?22ix??t2，求
1??2x2?2
p2T???2? （2）动能的平均值
（3）动量的几率分布函数。
?1?(r,?,?)?ea0?a0r16．氢原子处于基态
（1）r的平均值；
，求：
e2?（2）势能r的平均值；
（3）最可几半径； （4）动能的平均值；
（5）动量的几率分布函数。
?2LH?2I。L17．一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是
为角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：
（1）转子绕一固定轴转动； （2）转子绕一固定点转动。 18．一维运动的粒子的状态是
?Axe??xx?0?(x)???0 x?0 其中??0，求
（1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子的平均动量。
19．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数??Ax(a?x)描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。 20．设氢原子处于状态
?(r,?,?)?13R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?)22
求氢原子的能量，角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
2221．求（3.7）题中粒子位置和动量的测不准关系??x???p???
?是二个厄密算符，试证明： ?和G22．已知F?也是厄密算符 ??F??G(1) (1) K??G?F??i(F?G?)(2) (2) M也是厄密算符
???i?d?xFdx23．求解算符的本征值和本征函数。
????24．令L??Lx?iLy和L??Lx?iLy，试证明
?,L????L????z?? ，(2) ?L?,L???2?Lz (1) ?L??x的矩阵元和Lx的矩阵元。 25．求动量表象中角动量L226．求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。 27．求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 28．求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
??LL?2和Lz表象中，算符x和y和矩阵分别为 29．设已知在L?010??0?i0?????????Lx?Ly??101??i0?i?2?2??0100???， ?0i?
??Lx和y对角化。 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵L?30．求下面四个矩阵元：xxx?，xpp?，pxx?和ppp?。
?和B?，它们31．已知某表象的三个基矢为：??1,?2,?3?，有两个算符A??????11，A?2?0，A?3???3， 有如下性质：A
试写出算符
??????B13，B?2??2，A?3??1，
?，A?2，B?和B?2的矩阵。 A32．实际原子核不是一个点电荷，它具有一定大小，可近似视为半径为R的均匀分 球体它产生的电势为
?Ze?31r2????,r?R?2??R?22R???r?????Ze,r?a??r
Ze为核电荷，试把非点电荷效应看成微扰，
?Ze2??H'??R?0??31r2?Ze2??2?2R2???R,r?R?? ,r?a
计算原子的1s能级的一级微扰修正。
'H?H?H033．设，
?E1(0)H0???0?0??ab?'???H?(0)???E2?，?ba?（a,b为实数）
用微扰论求解能级修正（准到二级近似），并与严格解（把H矩阵对角化）比较。
34．一维无限深势阱（0，a）中的一个粒子在t?0时刻处于如态：
?(t?0)?Asin?axcos2?xa，
求t时刻的状态波函数。
??H??H??035．已知某体系的哈密顿算符H，其中无微扰哈密顿算符H0??在H0表象中的矩阵分别为： 和微扰H??00????????????????02???????*00?H0?H?0??*00?03?????， ??，
试用微扰论方法求能级。(精确到二级修正)
36．体系无微扰的能级E是二度简并，波函数是?1和?2，它们是相互
??????????，而且有H12，H?2???1， 正交归一的。现有微扰H求一级近似的能级和相应的零级近似波函数。 37．求证：?x?y?z?i
38．在sz本征态
?1?sz??????2?1?22???s?? ???s0y??下，求x39．在Sz表象中，求Sx和Sy的本征值和本征矢量。 40．求自旋角动量在?cos?, cos?, cos??方向的投影
???? Sn?Sxcos??Sycos??Szcos?
??的本征值和所属的本征函数。 41．设氢原子状态是
?1?R21(r)Y11(?,?)??????23???R21(r)Y10(?,?)???2?
（1）求轨道角动量z分量Lz和自旋角动量z分量Sz的平均值；
?e????e?M??L?S2?? （SI） （2）求总磁矩
的z分量的平均值（用玻尔磁子表示）。
42．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
43．证明?S，?S，?S和?A组成正交归一系。
44．设两电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是
U(r)?1??2r22。如果电子之间的库仑能和U(r)可以忽略，求当一个电
(1)(2)(3)子处在基态，另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。
量子力学基础习题
