学研教育——浙江专升本高数不等式的方法与技巧
不等式
不等式是高等数学中的一个重要工具。运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。
一、 几个重要的不等式
1．平均值不等式 ?1r? 设a1,a2,?,an非负，令Mr(a)???ak??nk?1?时，令Mr(a)?0），Aa()?Ma(1)1n?a?nk?1kn1r(r?0)（当r<0且至少有一ak?0，H(a)?M?1(a)?n111???a1a2an，??G(a)???ak?，称Mr是r次幂平均值，A是算数平均值，H是调和平均值，G?k?1?是几何平均值，则有H(a)?G(a)?A(a)，等式成立的充要条件是a1,?a2???an；一般的，如果s>0，t<0，则有Mt(a)?G(a)?Ms(a)，等式成立的充要条件是n1na1,?a2???an。 2．赫尔德（Holder）不等式 设a(j)i?0,aj?0,i?1,2,?,n,j?1,2,?,m，且?aj?1，则 j?1nm?(a)i?1n1a1i?(a)mami?(?a)?(?aim)am， 1a1ii?1i?1n等式成立的充要条件是ai(1)(1)a?ki?1n???ai(m)(m)a?ki?1n,i?1,2,?,n。 3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式
???? 设ai,bi,i?1,2,?,n为实数，则?|aibi|???ai2???bi2?。
i?1?i?1??i?1?4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式
nn12n12 1
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设ai(j)?0,i?1,2,?,n,j?1,2,?,m,r?1，则
[?(a???a(1)ii?1n1(m)rri)]?[?(a)]???[?(ai?1i?1n1(1)rrin1(m)rri)]，
等式成立的充要条件是
(ai(1))r?(ai?1n???(ai(m))r(1)rk)?(ai?1n,i?1,2,?,n。 )(m)rk5．贝努里（Bernoulli）不等式 设x>-1，那么当0
22??由此即知对任意x?(0,)，有f'(x)?0，故f在[0,]上严格递减，故对任意
22??2x?(0,)，有f()?f(x)?f(0)，即x?sinx?x，证毕。
22?（2）利用最值
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例. 设a,b?0,a=b。
证明：令f(x)?xa?ax,x?a,0?x?1，则f'(x)?axa?1?a，
由此即知，f'(1)?0，当0
pqpq11 故当x>0时，xa?ax?1?a（*），且等式成立当且仅当x=1。 a1ab 令x?,a?，代入(*)式即可得ap?bq??，且等式成立当且仅当bppq11x=1,即a=b。证毕。 （3）利用中值定理 例. 设f在[0，c]上可导，且导函数f'单调下降，又f(0)=0，试证当0?a?b?a?b?时，有cf(a?b)?f(a)?f(b)。 证明：由中值定理知：f(a?b)?f(b)?f'(?1)a，其中?1?(a,a?b)； f(a)?f(0?2?(0,a)， ?)'f?2(，其中a)由f'单调下降知：f(?1)?f(?2)， 再由a>0知f(a?b)?f(b)?f(a)?f(0)， 即f(a?b)?f(a)?f(b)。证毕。 例.若函数f(x)是[0，1]上的二阶导函数连续的函数，f(0)=f(1)=0，且f(x)?0,x?(0,1)，证明：?10f''(x)dx?4。 f(x)证明：由题意知f(x)在(0,1)上同号，不妨设f(x)>0， 又因为f(0)=f(1)=0，
由连续函数性质知?x0?(0,1),使得f(x0)?maxf(x)?0，
[0,1] 在[0,x0]和[x0,1]上分别用拉格朗日中值定理，?c?[0,x0],d?[x0,1]，使得
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f'(c)?10f(x0)'?f(x0)，从而有 ,f(d)?x01?x0?
df''(x)11''1dx?|f(x)|dx?|f''(x)|dx??f(x)f(x0)0f(x0)c?|f(d)?f(c)|1??4f(x0)x0(1?x0)''， 证毕。
（4）利用凸函数 例. 设a,b?0,11abp,q?1，且??1，则ap?bq??。 pqpq1111ab11证明：由于lnx是上凸函数，故ln(?)?lna?lnb?lnapbq， pqpq 故a?b?1p1qab?。证毕。 pq（5）利用Taylor公式（级数）来证明 例. 设f''(x)?0，u(t)是任意的连续函数，求证：当a>0时，有 1a1af(u(t)t)dt?f(u(t)dt)。 ??00aaf''(?)(x?x0)2?f(x0)?f'(x0)(x?x0), 证明：因为f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?2'1a 取x=u(t)，x0??u(t)dt， a0则有f(u(t))?f(x0)?f'(x0)(u(t)?x0)， 所以aa1a'f(u(t)t)dt?f(x)dx?f0?0?0(x0)(u(t)?x0)dt?af(x0)。证毕。 a?0（6）利用已知的不等式 例. 设f连续可微，f(1)-f(0)=1，求证?[f'(x)]2dx?1。 01证明：1?f(1)?f(0)??f(x)dx?(?[f(x)]dx)(?1dx),
0001'1'212112 由此即得?[f'(x)]2dx?1。证毕。
012． 利用积分证明不等式
（1） 利用分部积分和换元积分法估计积分值
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例. 证明?2?0sinx2dx?0
证明：将原式记为I，则
I??2?0sinxdx?2y?x2?2?0sinydy??2?0sinydy2y ???02?siny?siny??sintsinydy??dy??dy??dt（令y?t??)
?002y2y2y2t????(0?12y?1)sinydy2t??因为在[0,?]上，siny?0，又12y?1?0， 2t??所以(12y12y12y?1)siny?0， 2t??1)siny不恒等于0， 2t??1)sinydy>0，证毕。 2t??但是(??故?(0?（2） 构造积分进行证明 例. 若函数f(x)是[0，1]上的二阶导函数连续的函数，且f''(x)?0,f(a)?f(b)?0，证明：?x0?[0,1],使得|f(x0)|?4。 证明：反证法：若对?x?[0,1],均有|f(x)|<4，则对???[0,1],有 1??(x??)f(x)dx??|x??||f(x)|dx0011 ?4?|x??|dx?4(?(??x)dx??(x??)dx)001?1?，矛盾，故假设不成立。
(1??)21?4(?)?2(2?2?2??1)?1（取??）222（3）利用积分的单调性
?2?22x?22例. 证明不等式。 ???dx?9sinx36?2证明：令f(x)?2x??,x?[,]， sinx62 5
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