概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
不等式
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a?b,c?d，则a?c?b?d（若a?b,c?d，则a?c?b?d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：
ab若a?b?0,c?d?0，则ac?bd（若a?b?0,0?c?d，则?）；
cd3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a?b?0，则an?bn或na?nb；
11114．若ab?0，a?b，则?；若ab?0，a?b，则?。如
abab练习一、：
（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：
①若a?b,则ac2?bc2； ②若ac2?bc2,则a?b；
11 ③若a?b?0,则a2?ab?b2； ④若a?b?0,则?；
abba ⑤若a?b?0,则?； ⑥若a?b?0,则a?b；
abab11 ⑦若c?a?b?0,则； ⑧若a?b,?，则a?0,b?0。 ?c?ac?bab其中正确的命题是______
（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，则3x?y的取值范围是______
c（3）已知a?b?c，且a?b?c?0,则的取值范围是______
a二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法； 5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；
7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
1t?1练习二;（1）设a?0且a?1,t?0，比较logat和loga的大小
2221（2）设a?2，p?a?，q?2?a?4a?2，试比较p,q的大小
a?2（3）比较1+logx3与2logx2(x?0且x?1)的大小
三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这
17字方针。如
（1）下列命题中正确的是
14x2?3 A、y?x?的最小值是2 B、y?的最小值是2C、y?2?3x?(x?0)的最大值是
xxx2?242?43D、y?2?3x?(x?0)的最小值是2?43
x（2）若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______
；
11（3）正数x,y满足x?2y?1，则?的最小值为______
xy五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解
因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
常用的放缩技巧
六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一
个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如 练习三：
（1）解不等式(x?1)(x?2)2?0。 （2）不等式(x?2)x2?2x?3?0的解集是____
（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)?0的解集为{x|1?x?2}，g(x)?0的解集为?，则不等式f(x)gg(x)?0的解集为______
七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解
因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如
5?x练习四：（1）解不等式2??1
x?2x?3ax?b（2）关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，则关于x的不等式?0的解集为____________
x?2
八．绝对值不等式的解法：
311．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2?x|?2?|x?|
42（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|x|?|x?1|?3 （4）两边平方：如
若不等式|3x?2|?|2x?a|对x?R恒成立，则实数a的取值范围为______。
九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如
ax22?x(a?R) （1）若loga?1，则a的取值范围是__________（2）解不等式
ax?13
十一．含绝对值不等式的性质：
a、b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； a、b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.
如设f(x)?x2?x?13，实数a满足|x?a|?1，求证：|f(x)?f(a)|?2(|a|?1)
十二．(难点)不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用
函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题
若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A
若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B
如（1）设实数x,y满足x2?(y?1)2?1，当x?y?c?0时，c的取值范围是______
（答：?； ?2?1,??）
?（2）不等式x?4?x?3?a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____
（答：a?1）；
（3）若不等式2x?1?m(x2?1)对满足m?2的所有m都成立，则x的取值范围_____
7?13?1（答：（,））；
22(?1)n?1（4）若不等式(?1)a?2?对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____（答：
n3； [?2,)）2（5）若不等式x2?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围.
1（答：m??）
22). 能成立问题
若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上f?x?max?A；
n若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的f?x?min?B.如已知不等3). 恰成立问题
若不等式f?x??A在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??A的解集为D； 若不等式f?x??B在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??B的解集为D.
含参数的一元二次不等式的解法
式x?4?x?3?a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____（答：a?1）
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按x项的系数a的符号分类，即a?0,a?0,a?0;
2例1 解不等式：ax??a?2?x?1?0
??a?2??4a?a2?4?0，故只需对二次项
22 分析：本题二次项系数含有参数，?系数进行分类讨论。
解：∵?2??a?2??4a?a2?4?0
2?a?2?a2?4?a?2?a2?4,x2?解得方程 ax??a?2?x?1?0两根x1?
2a2a??a?2?a2?4?a?2?a2?4???或x?∴当a?0时,解集为?x|x??
2a2a????1??当a?0时，不等式为2x?1?0,解集为?x|x??
2????a?2?a2?4???a?2?a2?4??x?当a?0时, 解集为?x|?
2a2a????2 例2 解不等式ax?5ax?6a?0?a?0?
分析 因为a?0，??0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
2解 ?a(x?5x?6)?a?x?2??x?3??0
?当a?0时，解集为?x|x?2或x?3?；当a?0时，解集为?x|2?x?3? 二、按判别式?的符号分类，即??0,??0,??0；
2例3 解不等式x?ax?4?0
2分析 本题中由于x的系数大于0,故只需考虑?与根的情况。
解：∵???a2?16 ∴当a???4,4?即??0时，解集为R；当a??4即Δ＝0时，解集为?xx?R且x??a??； 2??a?a2?16?a?a2?16当a?4或a??4即??0,此时两根分别为x1?，x2?，显然x1?x2,
22??a?a2?16?a?a2?16???∴不等式的解集为?xx?或x〈?
22????22 例4 解不等式?m?1?x?4x?1?0?m?R?
1??2222 解 因m?1?0,??(?4)?4?m?1??4?3?m?，所以当m??3，即??0时，解集为?x|x??；
2???2?3?m22?3?m2???当?3?m?3，即??0时，解集为?xx?或x〈?； 22m?1m?1????当m??3或m?3，即??0时，解集为R。
2三、按方程ax?bx?c?0的根x1,x2的大小来分类，即x1?x2,x1?x2,x1?x2；
12例5 解不等式x?(a?)x?1?0 (a?0)
a1分析：此不等式可以分解为：?x?a?(x?)?0，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。
a111
解：原不等式可化为：?x?a?(x?)?0，令a?，可得：a??1，∴当a??1或0?a?1时，a? ，故原不
aaa
1?1?等式的解集为?x|a?x??；当a?1或a??1时，a?,可得其解集为?；
a?a?1?1??x?a?。 当?1?a?0或a?1时, a?,解集为?x|a?a?22例6 解不等式x?5ax?6a?0，a?0
222 分析 此不等式????5a??24a?a?0，又不等式可分解为?x?2a?(x?3a)?0，故只需比较两根2a与3a的大小.
解 原不等式可化为：?x?2a?(x?3a)?0，对应方程?x?2a?(x?3a)?0的两根为
x1?2a,x2?3a，当af0时，即2ap3a，解集为?x|x?3a或x?2a?；当a?0时，即2af3a，解集为?x|x?2a或x?3a?
一元二次不等式
1．(1)解不等式
x?1?1 （{x|x??1,或x?0}） 2x1ax (2)不等式?1的解集为{x|x?1，或x?2}，求a的值. （a?）
x?12
2．解下列关于x的不等式：
（1）x2?(a?)x?1?0 （2）
1ax?a?0(a?3，且a??2)
(x?2)(x?3)1(1)当a??1,或0?a?1时，{x|a?x?}(1)当a??2时，{x|x?a,或?2?x?3}a (2)当a??1时，? (2)当?2?a?3时，{x|x??2,或a?x?3}
1(3)当a?3时，{x|x??2,或3?x?a}(3)当a?1,或?1?a?0时，{x|?x?a}a2 （3）ax?(a?1)x?1?0 （4）(x?2)(ax?2)?0
1,或x?1}a(2)当a?0时，{x|x?1}1{x|1?x?} (3)当0?a?1时，a(4)当a?1时，?1(5)当a?1时，{x|?x?1}a(1)当a?0时，{x|x?2?x?2}a(2)当a?0时,{x|x?2}(1)当a?0时,{x|2(3)当0?a?1时,{x|x?2,或x?}
a(4)当a?1时,{x|x?2}2(5)当a?1时,{x|x?,或x?2}ax（5）ax2?x?1?0 （6）?1?a(a?R)
x?1
?1?1?4a?1?1?4a,或x?}2a2a(2)当a?0时，{x|x??1}(1)当a?0时，{x|x?a?1?x?1}a {x|x?1}1?1?1?4a?1?1?4a (2)当a?0时，(3)当0?a?时，{x|?x?}a?142a2a(3)当a?0时，{x|x?1,或x?}a1(4)当a?时，?4(1)当a?0时，{x|
23．（1）若不等式(a?2)x?2(a?2)x?4?0对x?R恒成立，求实数a的取值范围.（?2?a?2）
（2）若不等式
224．（1）已知A?{x|x?3x?2?0},B?{x|x?(a?1)x?a?0}，
2x2?2mx?m4x?6x?32?1的解集为R，求实数m的取值范围.（1?m?3）
B，求实数a的取值范围.； ①若A（a?2）②若B?A，求实数a的取值范围.；（1?a?2）
③若A?B为仅含有一个元素的集合，求a的值.（a?1）
x?1?0}，B?{x|x2?(a?1)x?a?0},且A?B?B，求实数a的取值范围. x?3 （1?a?3）
（2）已知A?{x|(a?1)2(a?1)22 (3) 关于x的不等式|x?与x?3(a?1)x?2(3a?1)?0的解集依次为A与B， |?22若A?B，求实数a的取值范围. （a??1,或1?a?3）
（4）设全集U?R，集合A?{x|
2222（5）已知全集U?R，A?{x|x?x?6?0},B?{x|x?2x?8?0},C?{x|x?4ax?3a?0}，
x?a?0},B?{x||2x?1|?3}，若A?B?R， x?1求实数a的取值范围. （?2?a?1）
若(A?B)?C，求实数a的取值范围.（ 1?a?2）
一元二次不等式及其解法
?b4ac?b2?b1．二次函数的图象及性质:二次函数y?ax?bx?c的图象的对称轴方程是x??，顶点坐标是???2a，4a??．
2a??22．二次函数的解析式的三种形式：
f(x)?ax2?bx?c（一般式）；
f(x)?a(x?x1)?(x?x2)（零点式）； f(x)?a(x?m)2?n（顶点式）．
必修5不等式题型总结
