不等式的性质及一元二次不等式
考纲解读 1.利用不等式的性质判断不等式成立或比较大小；2.根据二次函数求解给定的一元二次不等式；3.利用三个“二次”间的关系求参数或不等式恒成立问题．
[基础梳理]
1．不等式的基本性质 (1)对称性：a>b?b
(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac
(1)a>b，ab>0?<.
ab11
(2)a<0 abab (3)a>b>0,0 cd3．两个实数比较大小的依据 (1)a－b>0?a>b. (2)a－b＝0?a＝b. (3)a－b<0?a 4．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 有两个相异实根x1，x2(x1 1．下列四个结论，正确的是( ) 1133 ①a>b，c abA．①② B．②③ C．①④ D．①③ 答案：D 2．不等式x(9－x)<0的解集为( ) A．(0,9) C．(－∞，0) 答案：D 3．(必修5·习题3.2B组改编)若函数y＝mx2－?1－m?x＋m的定义域为R，则m的取值范围是________． 1 答案：[，＋∞) 3 ??x＋1 x≤0 4．(2017·高考全国卷Ⅲ改编)设f(x)＝?2，则f(x)≥1的解集为__________． ?x x>0? B．(9，＋∞) D．(－∞，0)∪(9，＋∞) 答案：{0}∪[1，＋∞) 考点一 一元二次不等式的解法|方法突破 [例1] (1)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示) (2)解不等式x2－4ax－5a2>0(a≠0)． [解析] (1)－x2－3x＋4>0?(x＋4)(x－1)<0. 如图，作函数y＝(x＋4)(x－1)的图象， ∴当－4 由于a≠0，故分a>0与a<0讨论． 当a<0时，x<5a或x>－a； 当a>0时，x<－a或x>5a. 综上，a<0时，解集为{x|x<5a或x>－a}； a>0时，解集为{x|x>5a或x<－a}． [答案] (1)(－4,1) [方法提升] 方法 “二次关系数形结合” 解读 化为“ax2＋bx＋c>0”(a>0)的形式，求方程ax＋bx＋c＝0的根，结合图象，写出解集“大于取两边，小于取中间” ①二次项中的系数含参数，讨论等于0，小2适合题型 不含参数的一元二次不等式 讨论参数法 于0，大于0； ②方程根个数不定，讨论Δ与0的关系； ③根的大小不定时，讨论两根大小 含参数的不等式 [母题变式] 1．将例(1)的不等式改为“－x2－3x＋4≤0”，其解集为________． 解析：由－x2－3x＋4≤0得x2＋3x－4≥0， 即(x＋4)(x－1)≥0，∴x≥1或x≤－4. 答案：(－∞，－4]∪[1，＋∞) 2．将例(1)的不等式变为“x2－3x＋4>0”，其解集为________． 解析：令y＝x2－3x＋4，∵Δ＝(－3)2－4×4<0，y>0恒成立．∴x∈R. 答案：R 3．将例(2)变为“x2－4ax－5a2>0”，如何求解． 解析：由例(2)知， (1)若a＝0，不等式为x2>0解集为{x|x≠0}， (2)当a>0,5a>－a，解集为{x|x>5a或x<－a}， (3)当a<0,5a<－a，解集为{x|x<5a或x>－a}． 考点二 不等式恒成立问题|方法突破 3 [例2] (1)(2018·武汉调研)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k 8的取值范围为( ) A．(－3,0) C．[－3,0) B．[－3,0] D．(－3,0] 1 0，?都成立，则a的最小值是(2)(2018·郑州调研)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈??2?________． (3)对于任意a∈[－1,1]，f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，那么x的取值范围是________． k<0，?? [解析] (1)由题意可得?解得－3 11?0，1?时，0，?上恒成立，(2)法一：由于x>0，则由已知可得a≥－x－在x∈?而当x∈?2??2?x ?－x－1?max＝－5，∴a≥－5，故a的最小值为－5. x??222 a法二：设f(x)＝x2＋ax＋1，则其对称轴为x＝－. 2 11a15 0，?上单调递减，此时应有f??≥0，从而－≤a≤①若－≥，即a≤－1时，f(x)在??2??2?222－1. 1a 0，?上单调递增，此时应有f(0)＝1>0恒成立，故a>0. ②若－<0，即a>0时，f(x)在??2?2a?a2a2a1a2?③若0≤－<，即－1 224241 5 综上，a的最小值为－. 2 (3)令g(a)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，由题意知g(－1)>0且g(1)>0，解得x<1或x>3. 5 [答案] (1)A (2)－ (3)(－∞，1)∪(3，＋∞) 2[方法提升] 一元二次不等式恒成立问题的破解方法 方法 解读 (1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的??a>0，条件是? ?Δ≤0；?适合题型 判别式法 (2)ax2＋bx＋c≤0??a<0，条件是? ?Δ≤0?对任意实数x恒成立的二次不等式在R上恒成立 如果不等式中的参数比较“孤单”，分离分离参数法 后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解．a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min 参数与变量能分离且f(x)的最值易求 把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax主参换位法 在分离参数时需要讨论参数与变量＋b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)>0的取值情况，且求函数的最值也较??f?m?>0，恒成立??若f(x)<0恒成立???f?n?>0，??f?m?<0，? ?f?n?<0? 麻烦，或者即使能容易分离出参数却难以求出 [母题变式] 3 在本例(1)中，改为“对于x∈[1,2]上，2kx2＋kx－<0恒成立”，求k的取值范围． 83 解析：k(2x2＋x)<，当x∈[1,2]时，3≤2x2＋x≤10， 8∵k< 33313 恒成立，≤≤，∴k<. 22808?2x＋x?8808?2x＋x? 考点三 比较大小问题|模型突破 角度1 作差(商)法比较代数式的大小 [例3] 已知a>0，b>0，且a≠b，则( ) A．ab＋1>a＋b C．2a3b>3a2b B．a3＋b3>a2b＋ab2 D．aabb [解析] 选项A(作差法)，ab＋1－(a＋b)＝ab－a＋(1－b)＝a(b－1)＋(1－b)＝(a－1)(b－1)， 显然当a，b中有一个等于1时，(a－1)(b－1)＝0，即ab＋1＝a＋b；故选项A不正确． 选项B(作差法)，a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a2－b2)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)． 因为a>0，b>0，a≠b，所以a＋b>0，(a－b)2>0，故(a－b)2(a＋b)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2，故选项B正确． [答案] B [模型解法] 作差法适用于四则运算形式的整式型代数式的比较大小问题，是解决比较大小问题的基本方法；作商法适用于幂指数形式的代数式以及整式的比较大小问题．破解此类题的关键点： (1)作差(商)，即根据两数或两式的结构特征确定作差或作商．
高中数学不等式的性质及一元二次不等式知识要点及例题讲解
