数学理科
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
柱体的体积公式：V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高． 1
锥体的体积公式：V锥体＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为高．
3
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{1，4}，B＝{a－5，7}．若A∩B＝{4}，则实数a的值是________． z
2. 若复数z满足＝2＋i，其中i是虚数单位，则z的模是________．
i
(第4题)
3. 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量(单位：吨)分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则该农作物的年平均产量是________吨．
4. 如图是一个算法流程图，则输出S的值是________．
5. “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头，甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是________．
6. 在△ABC中，已知B＝2A，AC＝3BC，则A的值是________．
7. 在等差数列{an}(n∈N*)中，若a1＝a2＋a4，a8＝－3，则a20的值是________．
(第8题)
8. 如图，在体积为V的圆柱O1O2中，以线段O1O2上的点O为顶点，上下底面为底面V1＋V2
的两个圆锥的体积分别为V1，V2，则的值是________．
V
x2y2
9. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，
ab过F作x轴的垂线交双曲线于点P，Q.若△APQ为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．
10. 在平面直角坐标系xOy中，点P在直线y＝2x上，过点P作圆C：(x－4)2＋y2＝8的一条切线，切点为T.若PT＝PO，则PC的长是________．
91
11. 若x＞1，则2x＋＋的最小值是________．
x＋1x－112. 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝ex在点P(x0，ex0)处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数．若点B(x0，0)，△PAB的面积为3，则x0的值是________．
13. 如图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演→→
化而成的(如图(2))，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则A6A7·A7A8的值是________．
??|log2x－a|，0＜x≤4，
14. 设函数f(x)＝?若存在实数m，使得关于x的方程f(x)＝m有4
?f（8－x），4＜x＜8.?
个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
ππ
在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos(α＋)，sin(α＋))，
44π
其中0＜α＜.
2
(1) 求(b－a)·a的值；
(2) 若c＝(1，1)，且(b＋c)∥a，求α的值．
16.(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点．求证： (1) PQ∥平面ABC； (2) PQ⊥平面ABB1A1.
17. (本小题满分14分)
x2y2
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－3)＋y＝1，椭圆E：2＋2＝1(a＞b
ab
2
2
＞0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．
(1) 求椭圆E的方程；
12
(2) 设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当AN＝AM
7时，求直线l的方程．
18. (本小题满分16分)
某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2∶1的两部分(点D，E分别在边AB，AC上)；再取DE的中点M，建造直道AM(如图)．设AD＝x，DE＝y1，AM＝y2(单位：百米)．
(1) 分别求y1，y2关于x的函数关系式；
(2) 试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．
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