高三数学考试（文科） 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
z?2?21. 已知复数z??1?i，则z?z（ ）
A．-1 B．1 C．?i D．i 2.若向量m?(2k?1,k)与向量n?(4,1)共线，则m?n?（ ）
917?A．0 B．4 C．2 D．2
?2A?{x|1?4?x?2}，B?{x|2x?3}，则AB?（ ） 3.已知集合
A．[2,??) B．(?3,?2][2,??) C．(2,??) D．[?3,?2)(2,??)
f(x)?cos(?x?)6的图象的对称轴方程为（ ） 4.函数
21x?k?(k?Z)x?k?(k?Z)33A． B． 11x?k?(k?Z)x?k?(k?Z)63C． D．
5. 如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的
体积为（ ）
?
A．7 B．6 C．5 D．4
?2x?1,x?1?f(x)??2???x?ax?1,x?1在R上是增函数，则a的取值范围为（ ） 6. 若函数
A．[2,3] B．[2,??) C．[1,3] D．[1,??)
7.在公比为q的正项等比数列
{an}中，
a4?4，则当
2a2?a6取得最小值时，
log2q?（ ）
1111??A．4 B．4 C．8 D．8
tan???,??(0,)sin(???)?3sin(?????)tan?2，则8.若，（ ）
?11A．2 B．2 C．3 D．3
x2y2?2?1(a?0,b?0)2FFab9.设双曲线?：的左、右焦点分别为1，2，?上存在关于y轴Q对称的两点P，（P在?的右支上），使得
为正三角形，则?的离心率为（ ）
PQ?2PF2?2PF1O，为坐标原点，且?POQ65A．2 B．2 C．6 D．5 10. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S的单位为钱，则输出的x，y分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）
A． B． C． D．
f(x)11.若函数lnx在(1,??)上单调递减，则称f(x)为P函数.下列函数中为P函数的序号为
（ ）
①f(x)?1 ②f(x)?x ③
f(x)?1x ④f(x)?x A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③
H21?R?H2P?ABCPA7H12.设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径，则（ ） 29323435A．39 B．39 C．39 D．39
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.若x是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，
22x?y?1的概率为 ． 则
2222x?(y?1)?nx?my?1的一个焦点，且圆C经过M的CM14.若圆：的圆心为椭圆：
n?另一个焦点，则m ．
15. 已知数列
{an}，
{bn}SnTnbn?an?2n?1n的前项和分别为，，，且
．
上至少存在一点与直线y?x?1上的一点关于原点对称，
Sn?Tn?2n?1?n2?216.若曲线
，则
2Tn?y?log2(2x?m)(x?2)则m的取值范围为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每
个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
c.已知absinC?20sinB，a2?c2?41，C所对的边分别为a，b，B，17.?ABC的内角A，
且8cosB?1. （1）求b；
（2）证明：?ABC的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍.
18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有2个红球，1个黄球和1个
蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取2个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：
①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； ②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；
③若取得的2个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包； ④若取得的2个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包； ⑤若取得的2个小球只有1个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包. 抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.
（1）求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）；
（2）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；
（3）分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元，5元，2元的概率. 19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱
ABC?A1B1C1中，D为棱
A1B1的中点，E在棱
BB1上，
B1E?3BE且
，M，N为线段.
C1DAA上的动点，其中，M更靠近D，且MN?1.F在棱1上，
A1E?DF
（1）证明：
A1E?平面
C1DF；
BM?（2）若
433，求三棱锥E?AFN的体积.
C2y2?2pxC1x2?2pyp?020.已知，抛物线：与抛物线：异于原点O的交点为M，且
抛物线
C1在点M处的切线与x轴交于点A，抛物线
C2在点M处的切线与x轴交于点B，与
y轴交于点C.
PQ?26CC（1）若直线y?x?1与抛物线1交于点P，Q，且，求抛物线1的方程；
（2）证明：?BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为定值.
x2f(x)?3e?x21.已知函数，g(x)?9x?1. x?(x)?xe?4x?f(x)的单调区间； （1）求函数
（2）比较f(x)与g(x)的大小，并加以证明；
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分.作答时用2B铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
??x????y??xOyM在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为?233?t23t3?t（t为参数，且t?0），以坐标
原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为??4cos?. （1）将曲线M的参数方程化为普通方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求曲线M与曲线C交点的极坐标(??0,0???2?).
23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数
f(x)?x?4?x?1?3.
（1）求不等式f(x)?2的解集；
（2）若直线y?kx?2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围.
高三数学详细参考答案（文科） 一、选择题
1-5: ADBCB 6-10: AAADB 11、12：BD 二、填空题
?n?22?n(n?1)?4 16. (2,4] 3613. 14. 8 15.
三、解答题
17.（1）解：∵absinC?20sinB，∴abc?20b，即ac?20，
22b?a?c?2accosB则
?41?40?1?68.
22（2）证明：∵ac?20，a?c?41，∴a?4，c?5或a?5，c?4.
52?62?423cosA??osB?2cos2?5?64，∴c若a?4，c?5，则
若a?5，c?4，同理可得B?2C.
故?ABC的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍.
2A1?co?s2A，∴B?2A.
18.解：（1）这20位顾客中获得抽奖机会的人数为5+3+2+1=11.
这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，故共有14次抽奖机会.
（2）获得抽奖机会的数据的中位数为110， 平均数为
1(11????1?101??1438?13111.
1?（3）记抽奖箱里的2个红球为红1，红2，从箱中随机取2个小球的所有结果为（红1,红2），
（红1,蓝），（红1,黄），（红2,蓝），（红2,黄），（蓝,黄），共有6个基本事件.
在一次抽奖中获得红包奖金10元的概率为
P1?16，
获得5元的概率为
P2?16， 42?63. ?A1B1C1中，
为正三角形，D为棱
底面
获得2元的概率为
P3?19.（1）证明：由已知得在正三棱柱
A1B1的中点，∴
.
C1D?A1B1，
ABC?A1B1C1AA1?A1B1C1，则
AA1?C1D又
A1B1AA1?A1，∴
C1D?平面
ABB1A1，∴
，∴
C1D?A1E平面
. .
易证
A1E?AD，又
ADC1D?DBB1?MB1A1E?AC1D（2）解：连结
MB1，则，
∵
BB1?2BM?，
4323MB1?3，∴3.
33.
d?DN?3?13.
又
MD?A1B1MD?，∴
由（1）知设
C1D?平面AEF，∴N到平面AEF的距离，∵
A1EDF?OA1E?DF，∴
?AOD1?A1B1E，
B1EA1D134??AF?1B1E?3BEABAFAF411113. ∵，∴，∴，∴
∴
VE?AFN?VN?AEF2323?6112?1)?????2?d??(9327. 323
?y?x?1?22x?2pyxy?20.（1）解：由，消去得?2px?2p?0.
设P，Q的坐标分别为则
(x1,y1).
，
(x2,y2)，
x1?x2?2p，
x1x2??2pPQ?1?12?(2p)2?4(?2p)?26∴，∵p?0，∴p?1.
故抛物线
C12x的方程为?2y.
2??y?2px?2?x?2py，得x?y?2p或x?y?0，则M(2p,2p).
（2）证明：由?2y?2p?k1(x?2p)x2?2pk1x?4p2(1?k1)?0x?2pyAM设直线：，与联立得.
由
?1?4p2k12?16p2(1?k1)?0，得
(k1?2)2?0，∴
k1?2.
设直线BM：
y?2p?k2(x?2p)2k2y2?2py?4p2(1?k2)?0y?2px，与联立得.
由
?2?4p?16pk2(1?k2)?022，得
(1?2k2)?02，∴
k2?12.
1y?2p?(x?2p)2故直线AM：y?2p?2(x?2p)，直线BM：，
从而不难求得A(p,0)，B(?2p,0)，C(0,p)， ∴
S?BOC?p2，
S?ABM?3p2，∴?BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为
p21?3p2?p22（为定值）.
x?'(x)?(x?2)(e?2)， 21.解：（1）
令?'(x)?0，得
x1?ln2，
x2?2；
令?'(x)?0，得x?ln2或x?2； 令?'(x)?0，得ln2?x?2.
故?(x)在(??,ln2)上单调递增，在(ln2,2)上单调递减，在(2,??)上单调递增. （2）f(x)?g(x). 证明如下：
xx2h'(x)?3e?2x?9为增函数， h(x)?f(x)?g(x)3e?x?9x?1设，∵
∴可设当∴又
h'(x0)?0，∵h'(0)??6?0，h'(1)?3e?7?0，∴
x0?(0,1).
x?x0时，h'(x)?0；当
x?x0时，h'(x)?0.
， ，
h(x)min?h(x0)?3ex0?x02?9x0?13ex0?2x0?9?0，∴
3ex0??2x0?9∴∵∴
h(x)min??2x0?9?x02?9x0?1?x02?11x0?10?(x0?1)(x0?10).
x0?(0,1)，∴
(x0?1)(x0?10)?0，
h(x)min?0，f(x)?g(x).
y?t22.解：（1）∵x，∴
3?x?233?yx，即y?3(x?2)，
又t?0，∴23?0x，∴x?2或x?0，
3(x?2)（x?2或x?0）.
∴曲线M的普通方程为y?222??4?cos?x?y?4x，即曲线C的直角坐标方程为??4cos?∵，∴，∴
x2?4x?y2?0.
??y?3(x?2)?22x?4x?y?0得x2?4x?3?0， ??（2）由
∴
x1?1（舍去），
x2?3，
(23,)(3,3)6. 则交点的直角坐标为，极坐标为
??x?1?1?x?4?x?4???2?2x?20?22x?8?2， f(x)?2??23.解：（1）由，得或或?解得0?x?5，故不等式f(x)?2的解集为[0,5].
（2）
?2?2x,x?1???0,1?x?4f(x)?x?4?x?1?3??2x?8,x?4，
作出函数f(x)的图象，如图所示，
直线y?kx?2过定点C(0,?2)，
当此直线经过点B(4,0)时，
k?12；
当此直线与直线AD平行时，k??2.
1k?(??,?2)[,??)2故由图可知，.
河北省邯郸市2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题Word版含答案
