高考数学一轮复习导数及其应用多选题(讲义及答案)附解析
一、导数及其应用多选题
lnx1.函数f(x)?,则下列说法正确的是( )
xA.f(2)?f(3)
B.ln???e D.若2x?5y,x、y均为正
2C.若f(x)?m有两个不相等的实根x1、x2,则x1x2?e
数,则2x?5y 【答案】BD 【分析】
求出导函数,由导数确定函数日单调性,极值,函数的变化趋势,然后根据函数的性质判断各选项.
由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A,由函数f(x)性质判断BC,设
2?5?k,且x,y均为正数,求得2x?xy25lnk,5y?lnk,再由函数f(x)性质判ln2ln5断D. 【详解】
lnx1?lnx,x?0得:f?(x)?
x2x令f?(x)?0得,x?e
由f(x)?当x变化时,f?(x),f(x)变化如下表:
x (0,e) ? 单调递增 e (e,??) ? f?(x) f(x) 0 极大值1 e单调递减 故,f(x)?1lnx在(0,e)上递增,在(e,??)上递减,f(e)?是极大值也是最大值,
exx?e时,x???时,f(x)?0,且x?e时f(x)?0,0?x?1时,f(x)?0,f(1)?0,
11ln2A.f(2)??ln22,f(3)?ln33
21?1???323?2????????66?3?2?f(3)?f(2),故A错
1312B.
e???e,且f(x)在(0,e)单调递增
?f(e)?f(?),C.
lneln??e??lneln??,故:B正确 ??ln??ee?f(x)?m有两个不相等的零点x1,x2?f?x1??f?x2??m
e2x2?e,?2?ex不妨设0?x1?e?x2
e2要证:x1x2?e,即要证:x1?x22f(x)在(0,e)单调递增,∴只
?e2?需证:f?x1??f??即:f?x2???x2??e2?f??只需证:f?x2???x2??e2?f???0……① ?x2??e2??11??g(x)?(lnx?1)g(x)?f(x)?f,(x?e)令,则?2?2? ??x??e?x?当x?e时,lnx?1,11???g(x)?0?g(x)在(e,??)单调递增 22ex?e2?x2?e?g?x2??g(e)?0,即:f?x2??f???0这与①矛盾,故C错
?x2?D.设2x?5y?k,且x,y均为正数,则x?log2k?lnklnk,y?log5k? ln2ln5?2x?25lnk,5y?lnk ln2ln51215110?110?????ln2ln532??ln2,?ln5且2?5?2???5??
???25?????1215?ln2ln525??0???2x?5y,故D正确. 25ln2ln5故选:BD. 【点睛】
关键点点睛:本题考查用导数研究函数的单调性、极值,函数零点等性质,解题关键是由导数确定函数f(x)的性质.其中函数值的大小比较需利用单调性,函数的零点问题中有两个变量x1,x2,关键是进行转化,利用零点的关系转化为一个变量,然后引入新函数进行证明.
2.已知x?(0,1),则下列正确的是( ) A.x?cosx?【答案】ABC 【分析】
?2
B.x?2
2xxC.sin?21x2 D.lnx?1?
xx2?4构造函数f?x??sinx?x证明其在?0,断选项A;作出y????2??单调递减,即可得sin??????x???x即可判?2?2x2和y?2x的函数图象可判断选项B;作出f?x??sinx,2h?x??1x2的图象可判断选项C;构造函数g?x??lnx??1利用导数判断其在
xx2?4x??0,1?上的单调性即可判断选项D,进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A:因为x??0,1?,所以0??2?x??2,令f?x??sinx?x,
???f??x??cosx?1?0,f?x??sinx?x在?0,? 单调递减,所以f?x??f?0??0,
?2???????sin?x即sinx?x,所以????x即cosx??x,可得x?cosx?,故A正
22?2?2确, 对于选项B:
由图象可得x??0,1?,x2?2x恒成立,故选项B正确;
x对于选项C:要证sin?2x2, 2x?42xx令f?x??sin,h?x?? 22x?4f??x???f?x?,f?x??sinx是奇函数, 2h??x??h?x?,h?x??x2是偶函数, 2x?4