专题限时集训(十) 圆锥曲线的定义、方程及性质
[专题通关练] (建议用时：30分钟)
x2y2
1．(2024·合肥模拟)设双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为4，一条1
渐近线的方程为y＝2x，则双曲线C的方程为( )
x2y2
A.16－4＝1 x2y2
C.64－16＝1
x2y2
B.4－16＝1
2y
D．x2－4＝1
A [由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b＝4，即b＝2，又双曲线的焦点b1
在x轴上，则其一条渐近线的方程为y＝ax＝2x，可得a＝4，所以双曲线C的方x2y2
程为16－4＝1，故选A.]
x2y2
2．(2024·全国卷Ⅰ)双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° 1C.sin 50°
B．2cos 40° 1
D.cos 50°
b
D [由题意可得－a＝tan 130°， 所以e＝
b21＋2＝1＋tan2130°＝a
sin2130°1＋2
cos130°
11＝|cos 130°＝.
|cos 50°故选D.]
3．[一题多解](2024·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点A(1，a)(a＞0)在C上，|AF|＝3.若直线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是( )
A．12
B．10
C．9 D．4.5
C [法一：因为A(1，a)(a＞0)在抛物线C上，所以a2＝8，解得a＝22或a＝－22(舍去)，故直线AF的方程为y＝－22(x－2)，与抛物线的方程联立，消去y，可得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，由抛物线的定义，得|BF|＝4＋2＝6，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝9，故选C.
1
法二：因为直线AB过焦点F，所以xAxB＝4p2＝4，又xA＝1，所以xB＝4，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋4＝9，故选C.]
y2x2
4．(2024·青岛模拟)已知抛物线x＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆a2＋b2＝1(a＞
2
b＞0)的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A，B两点，若△FAB是正三角形，则椭圆的离心率为( )
1A.2 3C.3
2B.2 3D.2
2b232b2
C [如图，由|AB|＝a，△FAB是正三角形，得2×a＝2c，b22
化简可得(2a－3b)(2a＋b)＝0，所以2a－3b＝0，所以a2＝3，
2
2
2
2
2
2
c
所以椭圆的离心率e＝a＝
b23
1－a2＝3，故选C.]
x2y2
5．(2024·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：4－5＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( )
3A.2 7C.2
5B.2 9D.2
x2y2
B [由F是双曲线4－5＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3. 不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0＞0，y0＞0，
2?x20＋y0＝3，?
2则?x20y0
－＝1，??45
256x??0＝9，
解得?
225y??0＝9，
?2145?
所以P?，3?，
?3?
1155
所以S△OPF＝2|OF|·y0＝2×3×3＝2. 故选B.]
6．(2024·延安一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F作直线l2
交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝3，|BF|＝2，则p＝________.
1 [如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2
∵|AF|＝3，|BF|＝2，
2pp
∴根据抛物线的定义可得x1＝3－2，x2＝2－2， 2p－
y2x1321p1?2p?
－??∴y2＝x＝
p＝9，∴9?32?＝2－2， 22
2－2∴p＝1.]
7．(2024·长春模拟)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝2，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．
x2y2
4＋2＝1 [∵F为椭圆的右焦点，|OF|＝2，∴c＝2. x2y2
设椭圆方程为2＋b2＝1(b＞0)，
b＋2
∵A，B为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA， 2y2b2M
∴A是长轴右端点，2＋b2＝1，∴yM＝2，
b＋2b＋2b2??
∴M?2，2?.
b＋2??
?b2＋2b?
∵A(b＋2，0)，B(0，b)，∴C?，2?.
?2?
2
2024届二轮复习(文) 圆锥曲线的定义、方程及性质 作业
